Hidrológiai Közlöny, 2020 (100. évfolyam)
2020 / 4. szám
61 Fekete Árpád és Keve Gábor: A csapadékösszegek és az aszályos időszakok vizsgálata Markov-láncokkal statisztikai elemzésében. A módszer előnye, hogy az adatsorra legjobban illeszkedő valószínűségi eloszlás nélkül is kiszámíthatók az egyes csapadékos évek valószínűségei a jövőre vonatkozóan. A következő rész bemutatja a Markov-láncok rövid elméleti összefoglalóját. A MARKOV-LÁNCOK ELMÉLETI ÖSSZEFOGLALÓJA A matematikában a Markov-lánc olyan )Xn } diszkrét sztochasztikus folyamatot jelent, amely Markov-tulajdonságú. A Markov-tulajdonság azt jelenti, hogy adott jelenbeli állapot mellett, a rendszer jövőbeli állapota nem függ a múltbeliektől. Másképp fogalmazva ez azt jelenti, hogy a jelen leírása teljesen magába foglalja az összes olyan információt, ami befolyásolhatja a folyamat jövőbeli helyzetét. Tehát adott jelen mellett a jövő feltételesen független a múlttól. Semmi, ami a múltban történt, nem hat, nem ad előrejelzést a jövőre nézve. Jelöljék valamely rendszer állapotait a t0, t1( t2, ... ,tn,... időpontokban az X0,X1,X2, — ,Xn,... valószínűségi változók felvett értékei. Legyen a t0 időpontban X0 = x0, és a tn időpontban /, a tn+1 időpontban j állapotban a rendszer, azaz Xn = i és Xn+1 — j. Egylépéses átmenetvalószínűségnek nevezzük azt a valószínűséget, hogy Xn+x a /állapotban van, feltéve, hogy Xn az i állapotban van. Képlettel: pP'n+1 ■■= P(Xn+1 = j |Án = /). A jelölés azt is kidomborítja, hogy az átmenet-valószínűségek nemcsak a kezdeti és végállapot függvényei, hanem az átmeneti időnek is. Ha az egylépéses átmenet-valószínűségek függetlenek «-tői, azaz az időtől, akkor azt mondjuk, hogy a Markov-folyamatnak stacionáriusak az átmenet-valószínűségei (Karlin és Taylor 1985). A Markov-láncok döntő többsége rendelkezik ezzel a tulajdonsággal, ezeket homogén Markov-láncoknak nevezzük. Ebben az esetben pAn+1 ■•= Ptj és Pt] annak a valószínűségét jelenti, hogy az állapotok értéke az /-bői /-be megy át egy kísérlet alatt. Most már fel tudjuk írni formálisan a Markov-tulajdonságot: P(Xn+l = j\Xn = b-Xn-l = xn-1> •■■X\ - xlß X0 = x0) = Piy Ez a tulajdonság elég sok területen érvényes, például a fizikában, ahol a rendszerek jövőbeli viselkedése egyértelműen meghatározódik a jelenbeli állapotukból, és teljesen független attól, hogy milyen állapotban voltak korábban. A hidrológia tudományágában elsősorban tározók méretezésénél ismert ez az eljárás (Gálái 2013, Fekete és Keve 2019), azonban a csapadékjelenségek vizsgálatában nem elterjedt alkalmazása a hazai gyakorlatban. A Py (i,j = 0, 1, 2,...,«) számok mátrix formába is rendezhetők. A P = (/L ) mátrixot a folyamat átmenetvalószínűség mátrixának nevezzük: P00 PQ1 ... Pon P10 Pli ... P m 1 O Pm -Pnn A P.j mennyiségek nemnegatív számok, sorösszegük egységnyi, mert valamely esemény soronként biztosan bekövetkezik. A föátlóban szereplő értékek a helyben maradás valószínűségét adják meg és a mátrix egy sora eloszlását fejez ki. Az átmenet-valószínűségeken kívül az ún. cp0 kezdeti eloszlás határozza meg a Markov-láncot. Ez egy « hosszúságú vektor, mely az egyes állapotokban való tartózkodás valószínűségeit adja meg. Adott (p0 esetén k lépés múlva az eloszlás: <Pk = <Po Pk-Jelölje pfjX azt az átmenet-valószínűséget, hogy a rendszer n lépésben megy át az / állapotból a j állapotba. A Markov-láncot ergodikusnak nevezzük, ha léteznek a lim PX] = P: n—*co LJ J határértékek (határvalószínűségek), melyek /-tői függetlenek, és l=o tehát a j-edik oszlop elemei egyenlők, és a mátrix soröszszege egységnyi (Kontur és társai 1993). A határvalószínűségekből alkotott határmátrix (P*) az ergodikus Markov-láncok határeloszlására vonatkozó Markov-tétel alapján: P* = lim Pn = 71-»00 \P° Pl-Pn P 0 Pl-Pn Po Pl-Pn A határmátrix minden sora egyforma. A határvalószínüségek által alkotott valószínűségeloszlást stacionárius vagy határ vagy invariáns eloszlásnak is nevezzük. (A P* mátrix további hatványozásra nem változik.) A Pq,P\, ..., Pn valószínűségek azt fejezik ki, hogy mekkora valószínűséggel találjuk a rendszert hosszú állapotváltozások sorozata után az egyes 0,1,.... n állapotokban (Kontur és társai 1993). Az invariáns eloszlás számításhoz két eljárást követhetünk: 1. Az egylépéses átmenetvalószínűségi mátrixot addig hatványozzuk, amíg az oszlopainak elemei állandósulnak. 2. Felhasználjuk a határmátrix idempotens tulajdonságát, azaz a P*P = P* tulajdonságot, így P0 Pl- Pn] Pqo P01 ••• POn \P0 Pl- Pn Po Px ... Pn P10 Pn ... Pin — Po Pt ... Pn Po Pl ... Pn-PnO Pnl Pnn-P0 Pl- Pn-
