Hidrológiai Közlöny, 2018 (98. évfolyam)
2018 / 3. szám - SZAKCIKKEK - Tóth Balázs: Sekélyvizű tavak szélkeltette áramlásának modellezése hálómentes módszerrel
Tóth B.: Sekély vizű tavak szélkeltette áramlásának modellezése hálómentes módszerrel 65 elő, ahol N a szimulációban alkalmazott részecskék száma. A közönséges differenciálegyenlet-rendszer tehát felfogható egy anyagi pontokból álló dinamikai rendszer mozgásegyenleteként. A MATEMATIKAI MODELL A sekélyvízi egyenletek célja a függőlegesnél vízszintes irányokban nagyságrendekkel nagyobb méretű víztestek áramlási folyamatainak hatékony modellezése a mélység irányában átlagolt sebességmező figyelembevételével. Ezzel a megközelítéssel a háromdimenziós problémák kétdimenzióssá redukálhatok. A sekélyvízi egyenletek a következő alakban írhatók fel x és y irányban: du du du — + U—+ v— = -g dt dx dy dv dv dv — + u— + v — = -gdt dx dy d(b + z) dx d(b + z) dy + Ssx + Sbx■ + Ssy + Sby, (8) db (dbu dbv\ Tt + Vd^ + ~di)^° ahol u és v a mélységátlagolt sebességkomponensek x és y irányban, g = 9,81 m/s2, b és z rendre a vízmélység és a meder geodéziai magassága, Ss és Sb a szél és a meder nyírófeszültségéből származtatott forrástagok. A két komponenst egy egyenletben felírva és figyelembe véve, hogy lagrange-i vonatkoztatási rendszerben a (8) bal oldalán álló lokális és konvektiv tagok szubsztanciális deriváltként írhatók fel, az egyenlet az alábbi alakot ölti: dv dv — + vVv - — dt dt-gV(b + z) + 5S + Sb, db _ db — + v Vb = — = -bVv. dt dt (9) A szélnyírásból származó forrástag nagysága az alábbiak szerint számolható (Dean és Dalrymple 1991): Ss = kv\w\w k„ = < 1.2 • 1(T6 1.2 • 1(T6 + 2.25 ■ 10-6 í 5-6\ V1 Iwl) m ha |w| < 5.6 —, s ha |w| > 5.6 —, s (10) Itt w a szélsebességvektor a vízfelszíntől 10 m magasságban, amely jelen cikkben térben és időben egyaránt konstans, és |w| = 10 m/s. A meder nyírásának hatása pedig: £4/3 ' ahol jelen cikkben az n = 0,02 s/m1^3 a Manning-féle mederérdességi együttható. A (9)-es sekélyvízi egyenletek SPH-s diszkretizáció lépéseinek (Xia és társai 2013) terjedelme miatt az egyenleteknek csak a végső alakját mutatjuk be. Az SPH modell a sekélyvízi egyenleteket a kétdimenziós térben mozgó anyagi pontok dinamikájára redukálja, melyben az anyagi pontokhoz egyenlő térfogatú folyadék- oszlopokat rendelünk hozzá, ahol a folyadékoszlopok magassága az adott ponthoz tartozó mélységgel egyezik meg. A diszkrét folyadékoszlopok egyik fontos tulajdonsága, hogy a véges térfogat módszer celláival ellentétben az áramlással együtt, anyagi (lagrange-i) pályákon haladva írják le a víztest mozgását. Természetesen a folyadékoszlopok térfogatát állandónak feltételezve a meder- és felszínalaknak megfelelően a vízmélység változásával időben a folyadékoszlopok átmérője is változik. Az i-edik folyadékoszlophoz, részecskéhez tartozó mélységet és gyorsulást az alábbi összefüggéssekkel számíthatjuk: dvi dt bi = Y, V^1' ~ Ifo V-' n2\v\v kv\w\w = -3 Wö -9Vz-g -^75- + —— + 060. (12) (13) ahol D(v) a numerikus stabilitást elősegítő mesterséges diffúziót, disszipációt reprezentálja. A mesterséges diffúzió hatásának csökkentését a véges térfogat módszernél ismert MUSCL (Monotonie Upstream-centered Scheme for Conservation Laws) séma SPH implementációjának segítségével valósítottuk meg (van Leer 1979, Monaghan 1997). A (13)-as egyenletben szereplő Vz gradiens példánkban az egyszerűsített medergeometriának köszönhetően analitikus úton előállítható. A vízmélységeknek megfelelően pedig a részecskékhez tartozó, a folyadékoszlop sugarával arányos hatósugár: ahol R0 és b0 rendre a kezdeti sugár és vízmélység. A kapott (12-14) egyenletrendszer a (15) elsőrendű félimplicit séma szerinti numerikus integrálásával kellő időlépés után kialakul a permanens áramlási kép.
