Hidrológiai Közlöny 2012 (92. évfolyam)
4. szám - Szigyártó Zoltán: A keverék-eloszlású évi legnagyobb jégmentes vízállások eloszlásának számtása
SZIGYÁRTÓ Z ^^ceverél^loszlási^vnegnagy^ 51 A keverék-eloszlású évi legnagyobb jégmentes vízállások eloszlásának számítása Szigyártó Zoltán 1118. Budapest, Somlói út 30/B Kivonat: A tanulmány (egy gyakorlati példával kiegészítve) részletes útmutatást ad a keverék-eloszlású évi legnagyobb jégmenetes vízállások eloszlásával kapcsolatos számítások elvégzésére. A bemutatott módszer figyelembe veszi azt, hogy a szóban forgó eloszlás középértéke időről időre ugrásszerűen megváltozik, a középértékek körüli szórás nem fiigg a középérték nagyságától, s a középértékek körüli véletlenjellegü ingadozás normális eloszlással jellemezhető. Kulcsszavak: évi legnagyobb jégmentes vízállás, keverék-eloszlás, számítási módszer, hibaszámítás. Előzmények és a tanulmány célja Korábbi tanulmányainkban (Szigyártó 2009, 2012/2, Szigyártó-Bénik 2003, Szigyártó-Bénik-Szlávik-Bálint 2005) már többször rámutattunk arra, hogy az évi legnagyobb jégmentes vízállások eloszlása időben nem állandó, hanem - az eloszlás középértéke időnként ugrásszerűen megváltozik, míg - a középértékek körüli szórás a minta származási helyétől (a vízmérce-állomás szelvényétől) függő, s a véletlenjellegü ingadozástól eltekintve állandó érték, továbbá - egy-egy állandó középértékkel jellemezhető időszakon belül az eloszlás normális eloszlással jellemezhető. Következésképen az évi legnagyobb jégmentes vízállások eloszlására a keverék-eloszlásokra vonatkozó összefüggések érvényesek (Csoma-Szigyártó 1975, 22. o.). így ezek az eloszlások számíthatók a keverék-eloszlásokra vonatkozó, általános jellegű F kW=2U'Fi« (1 ) i=i összefüggéssel; amelyben esetünkben F k(x) a keverék-eloszlás eloszlásfüggvényét, Fi(x)=Fi(x,Mj,5) a normális eloszlású, M, középértékű és s szórású í-edik időszak, mint mintaszakasz eloszlásfüggvényét, p, az Fj(x,M\,s 0) eloszlásfüggvény súlyát jelöli, amely utóbbi számítható a n (2) hányadosból, ahol Hj az i-edik mintaszakasz elemszáma (az évi legnagyobb jégmentes vízállások esetében az z-edik a részidőszak hoszsza, vagyis a részidőszakon belüli évek száma), n a teljes minta elemszáma (az évi legnagyobb jégmentes vízállások esetében az egész minta hossza, vagyis az egész minta éveinek a száma). A keverék-eloszlások tulajdonságainak a megismerésére, számítási módjának az elsajátosítására azonban a hazai vízimérnökök számára, az egyetemi tanulmányaik során nemigen nyílt lehetőség. így volt ez már sok évvel ezelőtt is, és így van ez ma is. Legalábbis az utóbbira utal az, hogy az Akadémiai Kiadónak a vízépítő mérnökök számára tankönyvként is szolgáló kiadványában (Kontur-Kóris-Winter 1993) az ilyen eloszlásokról egyáltalán nem esik szó. így minden bizonnyal manapság sem sok olyan vízimérnök akad, aki az évi legnagyobb jégmentes vízállások eloszlásával kapcsolatos, már említett eredményeket (Szigyártó-Bénik-SzlávikBálint 2005) a számításoknál minden gond nélkül alkalmazni tudná. Tehát ezért tűztük ki a tanulmány első céljának azt, hogy a szóban forgó keverék-eloszlások számításához szükséges ismereteket oly részletességgel foglalja össze, hogy az évi legnagyobb jégmentes vízállások eloszlását, a különböző valószínűségű árvízszinteket, s ezek megbízhatóságát — az egyetemi tanulmányai során kapott matematikai ismeretekre támaszkodva - bármely hazai vízimérnök számítani, illetve jellemezni tudja. A különböző valószínűségű árvízszintek kiszámítását a zonban - igényes munka elvégzésére törekedve - meg kell, hogy előzze egy illeszkedés-vizsgálaf, tehát tájékozódás a felől, hogy a szóban forgó keverék-eloszlás miképpen illeszkedik a rendelkezésre álló mintára. Ugyanakkor, mint már arról szó volt, a számítások alapját képező minta több, egymástól eltérő középértékkel rendelkező mintaszakaszból tevődik össze, s így nem egyöntetű. Ami azt is jelenti, hogy a folytonos eloszlásokra kifejlesztett, s Kolmogorov próbaként ismert (Csoma-Szigyártó 1975, 58. o.) illeszkedésvizsgálat ebben az esetben nem használható. Vagyis vele semmiképpen sem lehet ellenőrizni azt, hogy az évi legnagyobb jégmentes vízállások alapján meghatározott keverékeloszlás milyen megbízhatósággal illeszkedik a teljes minta empirikus eloszlásfüggvényére. Ennek ellenére a keverék-eloszlásnak az illeszkedését (ha csak erre egy lehetőség is van) valamilyen módon mégis csak ellenőrizni kell. E lehetőség tisztázása tehát az a második feladat, amelynek megoldását célul tűztük ki. Végül harmadik feladatnak tekintettük azt, hogy az ismertetett számítási módszereket egy gyakorlati példa keretében is bemutassuk. A keverék-eloszlású évi legnagyobb jégmentes vízállások eloszlásának a számításához szükséges ismeretek összefoglalása Az eloszlás paramétereinek meghatározása Akár a keverék-eloszlás függő-, akár annak a függetlenváltozó értékét kell meghatározni, az első feladat mindig az eloszlásfüggvény paramétereinek a meghatározása. - Ezért a Student próbát alkalmazó sorozatos statisztikai hipotézis-vizsgálattal mindenek előtt meg kell határozni a szomszédjaitól szignifikánsan (pontosabban a szokásosan felvett 5 %-os kockázati szinten) eltérő középértékkel rendelkező mintaszakaszokat; úgy, hogy az ide vágó számításokat vagy az erre a célra írt programmal (Szigyártó- Várnainé 1981) vagy az Excel táblázat felhasználásával (Szigyártó 2012) végezzük el. - Következő lépésként az így meghatározott mintaszakaszok p, súlyát a (2) összefüggés felhasználásával kell kiszámí—tani, amelyet majd (célszerűen az Excel táblázat felhasználásával) e mintaszakaszok M, középértékének a kiszámítása követ. - Végül, ami (utolsó lépésként) a vízmérce szelvényre jellemző és a továbbiakban s 0-al jelölt szórás meghatározását illeti; ezt definíciószerüleg a középértékekhez viszonyított összes eltérésből kell kiszámítani. Vagyis úgy, hogy először minden mintaszakaszra (részidőszakra) meghatározzuk az azon belül észlelt mintaelemeknek és az arra érvényes középértéknek az előjelhelyes különbségét, majd pedig ezeknek a különbségeknek a teljes mintára vonatkozó öszszessége alapján, a szokásos módon (célszerűen az Excel táblázattal) kiszámítjuk a s 0 szórásra torzítatlan becslést adó <j* n korrigált empirikus szórás értékét (Rényi 1954, 352 o.).
