Hidrológiai Közlöny 2011 (91. évfolyam)
1. szám - Gálai Antal: Bolyongás a szikes tavak körül: Szivattyús kisegítő víz-utánpótlás tervezése sztohasztikus eszközökkel
(jÁ^A^^^Jol^ongá^^zike^tavakköriU 39 Ezzel a feladatot vissza is vezettük az eredeti numerikus alapokra, s már csak a - valójában az egész régióra jellemző - csapadék-párolgás valószínűségi változó együttes eloszlásfüggvényéhez vezető útmutatás van hátra. Ha a két változó közt nem egy szimpla kivonás, hanem valami sokkal bonyolultabb függvénykapcsolat volna, akkor akár kockadobáshoz hasonlóan elektronikus rulettnek nevezhető véletlenszámos kettős idősor-generálással közelíthetnénk Monte Carlo módszerrel a kevert eloszlást. Azonban ha a további eredményeket formulák alapján számítjuk, illik e ponton is ezt az utat követnünk, akár elméleti, akár gyakorisági eloszlás van kéznél. Segítségül üssük föl a témába vágó bármely, ismeretterjesztő zsebkönyvnél vaskosabb, jól megírt matek-könyvet, én Rényi Alfréd: Valószínűségszámítás [5] klasszikus tankönyvének 9.§-a 181. oldaláról veszem az ideillő passzust: Eloszlások konvolúciója Legyen £ és t\ független, F(x), ill. G(y) eloszlásfüggvényű valószínűségi változó, és tekintsük a C =^ + rl összeget. Jelöljük feloszlásfüggvényét H(z)-\c 1, akkor H(z)= ff dF(x)dG(y) = f F(z-y)dG(y) = f G(z - v) dF(x). x f y < 2 E H(z) eloszlást F(x) és G(y) eloszlásfuggvényü eloszlások, röviden F és G konvolúciójának nevezzük. Figyelmünket ne kerülje el, de el se riasszon az integrálási változó függvény volta. Ez a — nem csak - jelölésmód is Newton-Leibnitz formuláját jó évszázad múltá-f- » val, immár 160 éve szabatosan megfogalmazott Riemann féle integrálfogalmon túlmutató újraértelmezésekre utal. Persze, ha G és F is abszolút folytonos, akkor az alábbi megszokottabb formára jutunk, mi alapján h(x) függvény, az f(x) és g(x) sűrűségfüggvények konvolúciója a + oo h (z) = j f (x)g(z - x) dx = J j\z - y)g(y) dy improprius integrállal számítható. A konvolúció függvényeken értelmezett jó algebrai tulajdonságokkal rendelkező művelet, kommutatív, asszociatív. Evégből a fent vázolt modell könnyen kiegészíthető további változókkal, pl. szivárgással, vagy szélerő hajtotta szivattyúzással, csak a konvolúcióba vont eloszlásfüggvények száma növekszik. Mivel esetünkben a két változó, a területre hulló csapadék és a párolgás összege helyett azok különbsége az „eredő", ha c a csapadék, sea párolgás sűrűségfüggvénye, akkor a h együttes sűrűségfüggvény az alábbi integrálból kapható: + 3C p(?7 — z) = h(z) = Je(x) c(x -f z) dx —00 Összefoglaló Duna-Tiszaközi szikes tavainkat elérő globális klímaváltozás újabb kihívást s feladatokat ró természetvédőkre, s mérnökökre egyaránt. Sztochasztikus folyamatok alkalmazása a valószínűségelmélet és vízgazdálkodás találkozási pontján egyben az alkalmazott matematika és az ősi vízviszszatartási gyakorlatok ötvöződése a tározás elméletében. Madárvándorlás vízszintigénye szerint módosított, 1959ben Moran indította tározómodell alapegyenleteinek csapadék-párolgás és kisegítő szivattyús vízpótláshoz igazítása, valamint a régionális meteorológiai eloszlások konvolúciója alapján az átmenet-valószínűségek mátrixának bemutatott feltöltése után a Markov lánc időfüggő és ergodikus vízszinteloszlásai meghatározhatók. A szerző, hivatkozva 1974 -ben végzett számításaira, e tározók mai újragondolásához újabb utat mutat a gyakorlati alkalmazáshoz Irodalpm [1] Vowles, Hugh P. (1932), "Early Evolution of Power Engineering", Isis (University of Chicago Press) 17 (2): 412^120 [p413], doi: 10.1086/346662 [2] Moran, P.A.P.: The Theory of Storage. Methuen and Co. Ltd. London, 1959. [3] Zsuffa, Gálái: Reservoir Sizing by Transition Probabilities; Water Resources Publication (WRP), Littleton, Colorado, USA, 1987. ISBN - 0-918334-62-4, Library of Congress Catalog Card Number-87-51100 [4] Comparative Evaluation of Generalized Reservoir/River System Models Prepared by Ralph A. Wurbs, Department of Civil Engineering, Texas A&M University Technical Report No. 282, Texas Water Resources Institute (The Texas A&M University System, College Station, Texas 77843-2118,) April 2005 for Fort Worth District of the U.S. Army Corps of Engineers http://twri.tamu.edu/reports/2005/ tr282.pdf [5] Rényi Alfréd: Valószínűségszámítás, Tankönyvkiadó, Budapest, 1966-1981, ISBN 963 17 5931 8 A kézirat beérkezett: 2009. novewmber 11-én Abstract: Keywords GÁLÁI ANTAL Random Walk along Salted Lakes Markov Chains in Considering Pumping Supplementary Water Supply Gálái, A. Global climate changes affecting Danube region in Hungary challenging nature conservationists and civil engineers. Applying stochastic processes to salted lakes at the crossroad of probability theory and water management is illustrated via a retrospective historical review in applied mathematics and age old reservoir practices evolving in storage theory. To satisfy ornithological water level requirements in generalizing reservoir models - initiated by Moran in 1959 - the fitting of basics equations to precipitation, evaporation and supplementary pumping is illustrated in water balance equations and regional convoluted meteorological distributions to present transition probability matrix of Markov chain to get time dependent and ergodic water level distributions. References to a numerical study in 1974 and present reconsideration of the same lakes bridge the model to real world applications. :water reservoir, ornithology, pumping, random walk, queueing theory, Markov chain. PhD Civ.Eng . oki. építőmérnök, oki. matematikus az EJF Műszaki Gazdasági Fakultás, Baja docense, Kutatási területe: műszaki modellezés, hidrológia, programozás, alkalmazott matematika
