Hidrológiai Közlöny 2011 (91. évfolyam)
1. szám - Gálai Antal: Bolyongás a szikes tavak körül: Szivattyús kisegítő víz-utánpótlás tervezése sztohasztikus eszközökkel
38 HIDROLÓGIAI KÖZLÖNY 2011. 91. ÉVF. 1. SZ. követő állapotok lehetséges értékeire az alapegyenletből kiokoskodott átmenetvalószínűségeket táblázatba foglalva eljutottunk az egylépéses Markov lánc A állapottranszformációs mátrixához, melyben az előző, feltételezett állapotot oszloponként rendezzük. E feltételes valószínűségekből egy induló kezdeti állapotot feltételezve, a teljes valószínűség tétele alapján már meg is határozhatjuk <f, idősorának P, eloszlásvektor-sorozatát: p{tt +1 = t) = £ p(tt +1 = 0 Mivel a teljes valószínűség felírt tétele egyben a mát rixszorzat definíciója is, ezért tömören: Pu = P(£t = i) M-l = A k,j„ Felmerül a kérdés, e P, eloszlásvektor-sorozatnak létezik-e határértéke, és milyen eloszlású ez az ún. ergodikus állapot? t helyébe oo-t helyettesítve mindkét index azonossá válik, tehát elhagyható s kielégíti az alábbi, egyetlen ismeretlent tartalmazó, rendezés után homogénné váló vektoregyenletet: A*. / mP = P (A,. /)t l - I)P = 0 Hogy van megoldás, az biztos, hisz A átmenetmátrix, vagyis ha már a víz előzőleg volt valahol (pl. /-ben), akkor biztos, hogy valahová jut, tehát az oszlop összeg - a valahol - éppen egy. Vagyis e tulajdonság alapján az összes többiből bármely sora előállítható, tehát lineárisan összefüggő, ergo determinánsa zérus, vagyis az egyenletnek létezik a triviális ,J*=0"-tói különböző megoldása. 6 = j)P{í, = 3) Aj = P(Zt +1 =Í 16 = 3) (Az / egységmátrix következtében az átrendezett együttható mátrix oszlopösszege is éppen zérus.) Persze P mellett annak többszöröse is megoldás, közülük a megfelelőt az alapján választjuk ki, hogy P egy diszkrét eloszlás, tehát elemei összege a biztos esemény valószínűsége, tehát egységnyi: k—rn E = 1 j=o Megnézhetnénk, mi van a többi sajátértékkel, s miért elég ez az egy feltétel, mi a mátrix rangja, továbbá azt is vizsgálhatnánk miért nem-negatív P minden eleme. Ennek mind meg van a maga matematikai háttere, de „bolyongó" ismertetőnk célja nem ez, hanem a modell megoldandó feladathoz illeszkedő átszabása. A Duna-Tisza közi Homokhátság szikes tavait a természetvédelem igényelte vízszinthatárok közt üzemeltetnék, mely - a hidrológiai adatok alapján - természetes úton nem lehetséges, ez csak közeli csatornák vízét átvezető szivattyús kisegítő vízutánpótlással érhető el. E sematikus ábra c csapadék, e párolgás és q szivatytyúzás jelölésével az alapegyenlet a következőképp módosul: 6 = mm(raaz(f t_i + Q - e t + q t.0).K) Most a bolyongást leíró mátrixhoz a követő és előző állapotokat „/"-vei és „/"'-vei jelölve i = rnin{riiax{i + c — e + q, 0), k) ahol a „min " és „max" függvények miatt i értékeire három esetet különböztethetünk meg: 0 > j + c - e + ^ i = j + c-e + qk<j + c- e + q h' • dl J F(h)dh = Jqdt+ I F{h)—dt = qjdt+aí F(h)dh hj At At A térfogatváltozással mindkét oldalt elosztva és átrendezve kapjuk az állapotváltozáshoz szükséges együttes csapadékfl,j = p((l- „ qA t )(h i-h j) = c-e)= í h(z)dz V / F(h)dh 1 — Az első a kiürülés, i= 0 esete, míg az utóbbi a telt tározó, i=k esete, vagyis a f,_/-ből a <f,-be történő átmenet valószínűségeit tartalmazó táblázat sorai háromféleképp töltendők ki. A bolyongás során létrejövő térfogatváltozásban időegységenként különböző egyenletes q vízhozamot feltételezve, az a arányossági tényező jelzi az időegységen belüli csapadék-párolgás hatás arányát, viszonyszámát a teljes változáshoz. írhatjuk ezt rögtön AV=qAt+aAV alakban, vagy a /-bői /-be való állapotátmenet integrálegyenleteként - a csapadék-párolgás miatti vízszint-változást épp dh/dt — alakban is: At hj párolgás értéket, mely mint átmenetvalószínüség az együttes eloszlásból számítható: hi-hj
