Hidrológiai Közlöny 2011 (91. évfolyam)
5. szám - Biris Salah: Sorozatok konvolúciója és dekonvolúciója
60 HIDROLÓGIAI KÖZLÖNY 2011. 91. ÉVF. 5. SZ. Inverz-sorozat: Az „a " sorozatnak „inv(a)" inverz-sorozata a következő 0, 0: inv(a) = 1 -a, a, i +2ű 2 f li 2 ' 3 2 ' 4 3 a n a n a n a n a *0 "0 "0 M0 "0 "0 "0 .Az a sorozat és inverz-sorozatának konvolúciója természetesen egységsorozatot eredményez: a*inv(a)=e. (7) Az inverz-sorozat i-edik eleme: in\{a) t = — — 5j' n v{ a)í-r f l/ i = 0-n + m ésinv(a) 0= — ^ «ol, >1 / ao Egy sorozatnak tehát csak akkor van inverz-sorozata, ha az első eleme nem nulla. Dekonvolúció: vegyük az inv(a) sorozat konvolúcióját balról az (l)-el: inv(a)* c = inv(a)* a* b = e* b => b = inv(a)* c, (9) ahol mindegyik sorozat hossza n+m+1. Mátrix alakban: mivel az (5)-ben az A négyzetes alsó háromszögmátrix, ezért in vertálható. Szorozzuk meg c = A - b -t balról A 1 inverz-mátrixszal: A 1 c = A 1 A b = E b b = A ' c, ahol E az egységmátrix. Természetesen a (9)-et is átírhatjuk mátrix alakba: bo 1 inv(a) 0 1 c 0 K inv(a\ mv{a) 0 c, b 2 in\{a) 2 inv{a\ inv(a) 0 c 2 i nA a) 3 inv(a) 2 inv(a\ inv(a) 0 C3 \ inv{a), inv(a) 2 inv(a\ inv(a) 0 C 4 b 5 J inv(a) 3 inv(a) 2 im(a), mv(a) 0 J 4. Alkalmazások 4.1. Szerkezetek mechanikája Tekintsük először a szerkezet viselkedéstét leíró egyenle•| tet, az alábbi elsőrendű állandó együtthatós közönséges liJ neáris inhomogén differenciálegyenletet 0, 0, 0: k-u(t)+C-ú(t)= f(t), (13) aminek általános megoldása 0: ~ k t 1 ' -(I-T) u(t)= e c u(t 0)+-íe c Tf(r)-dr. (14) c * C 0 Ha megoldjuk a (13) differenciálegyenletet arra az esetre, amikor (általunk kiválasztott) egységnyi ideig (í[) tartó egységteher hat, akkor megkapjuk az egységhatás válaszfüggvényét, figyelembe véve az u(í 0)=0 kezdeti feltételt: „(,)= i r ha t<t, ha t > t,. (15) (10) (11) Ha nem kívánjuk növelni az a és b sorozatok méretét, akkor más módon is eljárhatunk. (3)-t balról megszorozzunk az A mátrix transzponáltjával, A -gal: A* c = A* A b, és mivel (A A) négyzetes mátrix, ezért invertálható. Szorozzuk a fenti egyenletet (A A) inverzével: (A* • A)"' A* • c = (a* • a)"'(a* • a)- b => b = (a* • a)"' A* • c, (12) ahol (a* • a) A* = A + az A mátrix általánosított inverze 0 - vagy Moore-Penrose pszeudoinverze - ami az alábbi négy kritériumot teljesíti: 1) A- A + • A = A, 2) A +-A-A +=A\ 3) (A-A +y =A-A +, 4) (A +-A)T=A +.A. X = A + • y (A mxn-es mátrix) a legkisebb négyzetek megoldása az y = A • X (A n x m -es mátrix) egyenletrendszernek Ha a továbbiakban a fenti függvénynek leolvassuk az ordinátáit egységnyi időnként (Aí) addig, amíg a függvény értéke elegendően kicsi nem lesz és ezeket az értékeket egy sorozatba foglaljuk össze, akkor megkapjuk az egységhatás válaszsorozatát. b = [u(t 0\u{t,),...,u( tj\---A t m )]• Ezután a tényleges teherfüggvényből (fit)) ugyanilyen módon készíthetjük el a tényleges ok sorozatot a = [f{t 0\f{t,),...,f{t i),...,f{t m)\ A szerkezet tényleges elmozdulását ezután a fenti két sorozat konvolúcióval határozhatjuk meg (2) vagy (3) szerint. Ha a szerkezetet az alábbi elsőrendű lineáris inhomogén differenciálegyenlet-rendszerrel tudjuk leírni 0, 0, 0: K-u(í)+C-ú(í)=f(í), (16) aminek általános megoldása 0: u(/)= íT^uM+C1 }ec"' K ('r )f(r> dz, (17) 0 akkor az előzőekhez hasonlóan először meghatározzuk az egységhatás válasz-mátrixfüggvényét 0: U(í) = K~'(e - e~ c 1, 0) ha í < (18 ) U(í)= K~'(e c LK< J -Eje~ C K r ha t > t v Ha a továbbiakban a fenti függvénynek leolvassuk az ordinátáit egységnyi időnként (At) addig, amíg a függvény értéke elegendően kicsi nem lesz, és ezeket az értékeket egy sorozatba foglaljuk össze, akkor megkapjuk az egységhatás mátrix-válaszsorozatát: B = [u(0,u(?,),..., uy...,u(ü]. A fenti sorozat elemei nem skalárok, hanem négyzetes mátrixok. Ezután a csomóponti teher-vektorfüggvényböl (f(t)) ugyanilyen módon készíthetjük el a tényleges ok vektorsorozatot: ahol a sorozat elemei vektorok. A csomóponti elmozdulások a fenti két sorozat konvolúciójával határozhatók meg 0, 0, 0:
