Hidrológiai Közlöny 2011 (91. évfolyam)

5. szám - Biris Salah: Sorozatok konvolúciója és dekonvolúciója

JJII^^AIAH^orozatoH^ 61 c

k = ^

JB

k_

ia

i, k = 0- -n + m. (19) i=0 Érdemes megjegyezni, hogy a fenti egyenlet nem kommutatív ellentétben a (2)-el. A fentiekből megállapítható, hogy ha egy szerkezet a (13) elsőrendű differenciálegyenlettel, ill. a (16) elsőrendű differenciálegyenlet-rendszerrel leírható, akkor nem kell a (14), ill. a (17) általános megoldásban az integrálást elvégemi (amit egyébként analitikusan a nehezen kezelhető Laplace-transzformációval lehetne), hanem elegendő ha a (15) egységhatás válaszfüggvényből ill. a (18) egységhatás válasz-mátrixfüggvényből készítünk egy idősorozatot, majd a teher-függvényből (fit)) ill. a teher vektorfüggvényből (f(/)) készítünk egy másik idősorozatot. A szerkezet csomóponti elmozdulásait a két sorozat konvolúciója szolgáltatja. 4.2. Szerkezetek dinamikája (rezgéstan) Ha a szerkezetet leíró egyenlet az alábbi másodrendű állandó együtthatós közönséges lineáris inhomogén differenciálegyenletet 0, 0, 0, 0: k- u(t)+ m- ü(t)= f(t), (20) aminek általános megoldása: u(t)= K, cos(<yí)+ K

2 sin(®í)H—— f f(r\ sin®(í - r)- dr ^ mo, J ahol m _ a saját-körfrekvencia. Szorozzuk meg a fenti egyenletet balról V" -nel: a- v"

1 • u(?)+ v"' • ü(í)=V"' • ivr

1. Legyen Y(í)=V~'u(f) és P = VM\ akkor következő lesz: A - Y(/)+ Y(Í)= PTehát szétesett független differenciálegyenletekre, amelynek megoldása az U(0) = 0 és Ü (0) = 0 kezdeti feltételek mellett (22) alapján: P„ ha t<t, (24) M)-cos,\y[Ä

~t)) ha t>t

y Ha megoldjuk a (20) differenciálegyenletet, arra az esetre, amikor egységnyi ideig (?i) tartó egységteher hat, akkor megkapjuk az egységhatás válaszfiiggvényét, figyelembe véve az u(t0)=0 és Ú (0)=0 kezdeti feltételeket: «(<) = -(l-cos(«í)) ha í < f, = — (cosa)(t-At)-cos(cot)) ha t>t

r k Ha a fenti függvényből készítünk egy sorozatot úgy, hogy At időközönként leolvassuk a (22) függvény ordinátáit és azokat egy sorozatban foglaljuk össze, akkor megkapjuk az egységhatás válaszsorozatát. Ugyanígy a tényleges erőfüggvényből készítünk egy másik sorozatot, akkor megkapjuk a tényleges ok sorozatát. A tényleges rezgések a két sorozat konvolúciójából (2) szerint számíthatók ki. Ha a szerkezetet az alábbi másodrendű differenciálegyenlet-rendszerrel lehet modellezni 0, 0, 0, 0: Ku(/)+Mü(í)=f(í), (23) akkor a szerkezet egységhatás válasz-mátrixfüggvényét úgy határozhatjuk meg, hogy a (23) differenciálegyenlet-rendszer jobb oldalán egységnyi időig tartó egység terheket működtetünk, tehát: K • U(/)+ M • Ü(f)= E • Szorozzuk a fenti egyenletet balról M '-nel: M1 • K- U(f)4- Ü(í)= MT

1. Bontsuk fel az M"

1 K mátrixot az alábbi formára: M ' K = V A V ', ahol V az M K mátrix sajátvektorainak mátrixa, A pedig sajátértékeinek mátrixa. Y,(/)=Í(cos VX7(íEzek után az egységhatás válasz-mátrixfüggvénye meghatározható: U(í)=V-Y(í). (25.) Az egységhatás válasz-mátrixsorozatát úgy kapjuk meg, hogy At időközönként leolvassuk a U(í) mátrixfüggvény ordinátáit, majd ezeket egy mátrixsorozatba foglaljuk össze. A tehervektor függvényből ugyanígy készíthetünk egy vektorsorozatot, és akkor megkapjuk a tényleges ok vektorsorozatát. A szerkezet csomópontjainak a rezgéseit végül a fenti két sorozat konvolúciójából (19) szerint nyerhetjük meg. 5. Irodalom [1] Alhusain, O - Biri, S - Holnapy, D.: Generalized Cascade Model and its Application in Bar Structure. Periodica Polytechnica 2004 évf. 1. sz. 3-14 old.. [2] Biri S.- Holnapy D.: Egy általánosított kaszkád-modell és alkalmazása. Hidrológiai Közlöny 2003 évf. 4. sz. 239-242 old. [3] Bin S.- Holnapy D.: Reológiai modellek és a konvolutórikus simítás kapcsolata. Geomatikai Közlemények 7 (2004), 171-179. [4] Biri S.: Rúd- és egyéb mérnöki szerkezetek állapotváltozási egyenletének felhasználása konvolutórikus feladatok megoldásában. PhD értekezés, Budapest 2005. [5] Bin S.: Dinamikai feladatok megoldása sorozatok konvolúciójának segítségével, Epítés-Epítészettudomány 34/1-2 (2006), 149-164 o. [6] Biri S.- Holnapy D.: Új algebrai struktúrák kaszkád modellek megoldására. IX. Országos Neumann Kongresszus, 2006. június 27-29. Győr, Széchenyi István Egyetem. CD. [7] Gáspár Zs.: Tartók statikája III. Rúdszerkezetek. Műegyetemi Kiadó, Budapest, 2000. [8] Graham, R. L.- Knuth, D. E - Patashnik, O.: Konkrét matematika. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1998. [9] Györgyi J.: Dinamika, Műegyetemi Kiadó, Budapest, 2003. [10] Györgyi J.: Szerkezetek dinamikája, Kézirat, 2004. [11] Holnapy D.: Sorozatok konvolúciójának alkalmazásai. Építés- Epítészettudomány 31/1-2 (2003), 61-68. [12] Holnapy D.- Biri S.: Speciális algebrai struktúrák és lineáris terek a műszaki gyakorlatban. Építés- Építészettudomány. 34/3-4 (2006), 235-269. [13] Pestel, E. C. Leckie, F. A.: Matrix Methods in Elastomechanics. McGraw-Hill Book Company, Inc., 1963. [14] Rózsa P.: Lineáris algebra és alkalmazásai. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1976. [15] Vágás I.: Reológiai és elektromos analógiák, önszabályozási valószínűség-elméleti modellek a hidraulika egyes tranziens folyamatainakjellemzésére. Hidrológiai Közlöny 1970. 4. sz. 161-173 old. [16] Vágás I.: Önszabályozó átfolyásos rendszer-láncolatok valószínűségi jellemzése. Hidrológiai Közlöny 1970. 9. sz. 406-414 old. [ 17]Wikipedia:

http://en. wikipedia.org/wiki/Moore%E2%80%93Penro se pseudoinverse A kézirat beérkezett: 2011. május 13-én Ezt behelyettesítve: V- A- V"

1 • U(í)+ Ü(í)= M"

1. BIRI SALAH PhD (Budapest, 2005), oki. építőmérnök (Budapest, 1993). Doktori értekezése címe: „Rúd- és egyéb mérnöki szerkezetek állapotváltozási egyenletének felhasználása konvolutórikus feladatok megoldásában". Magyar állampolgár, Budapesten él és dolgozik. Biri Salah: Convolution and deconvolution of mathematical series