Hidrológiai Közlöny 2011 (91. évfolyam)
5. szám - Biris Salah: Sorozatok konvolúciója és dekonvolúciója
59 Sorozatok konvolúciója és dekonvolúciója Biri Salah 1025. Budapest, Boróka u. 6. - birisalah@hotmail.com Kivonat: A tanulmány bizonyos értelemben a konvolúció "megfordítását", a dekonvolúciót mutatja be a felhasználás lehetőségeinek elemzésével együtt. A bázisként tekintett műszaki felhasználás példáját folytatva, eljárásunkkal az ok- és okozat-sorozatból az egységhatás válaszfíiggvényét tudjuk létrehozni. A megnyílt lehetőségek differenciálegyenletek kezdetiértékfeladatainak megoldását, ill. folyamatok analízisét teszik lehetővé témától függetlenül, konvolúció, dekonvolúció, sorozat, általánosított inverz. Kulcsszavak: 1. Bevezetés Számsorozatok konvolúcióját (volvo-ere (latin) = gördít) a műszaki gyakorlat folyamatok kezelésére régóta felhasználta 0, 0. A legrégibb felhasználás talán az egység-árhullám függvény - felszorzott és eltoltan összegzett - hatásának előrejelzésére szolgált. Kutatásaink során ezt a lineáris szuperpozícióval nyerhető, és a skalár vízállásra vonatkozó lehetőséget kiteijesztettük tömbtípusú elemekre 0, 0, 0, sőt, a kialakítottunk egy a lineáris algebrához hasonló speciális algebrai struktúrát 0, 0, 0 is. Ez az algebrai struktúra egy vektortér feletti gyűrű. A vektortér elemei "n" dimenziós vektorsorozatok, a gyűrű pedig "n x n" dimenziós nem szinguláris mátrixsorozatokból áll. A vektorsorozatok között az összeadás, a mátrixsorozatok között az összeadás és a konvolúció művelete van értelmezve 0. Jelen tanulmány egy bizonyos értelemben véve a konvolúció "megfordítását", a dekonvolúciót mutatja be a felhasználás lehetőségeinek elemzésével együtt. A bázisként tekintett műszaki felhasználás példáját folytatva, eljárásunkkal az ok- és okozatsorozatból az egységhatás válaszfüggvényét tudjuk létrehozni. A megnyílt lehetőségek differenciálegyenletek kezdetiérték-feladatainak megoldását, ill. folyamatok analízisét teszik lehetővé témától függetlenül. A dolgozatban a könnyebb ráhangolódás érdekében először skalársorozatok konvolúcióját és dekonvolúcióját világítjuk meg a lineáris algebra eszközeivel, azután - alkalmazva a konvolúcióra a kiteij esztett algebrai struktúránk eszközeit - többdimenziós elemű sorokra is mutatunk példákat. 2. Sorozatok konvolúciója Legyen adott a és b két különböző hosszúságú egydimenziós numerikus sorozat: a = [a 0,fl 1,..aj, b = [b 0,b l,...,b j,...,b m\. A fenti két sorozat konvolúciója egy n+m+1 hosszúságú numerikus sorozat, a két sorozat konvolúciója definíció szerint 0, 0,0: c = a* b , (1) ahol * a konvolúció müvelet jele. A c eredmény sorozat fc-adik eleme: k k ck =Z a*-A =Y, b*-i a" k = 0-n + m- ( 2) 7=0 i=0 Bizonyítható, hogy konvolúció kommutatív, azaz: c = a* b = b* a. Továbbiakban feltételezzük hogy n>m, és n = 3 és m = 2 esetekre részletesen is felítjuk az egyenleteket: a = [a 0,a 1,a 2,a 3], b = [b 0,b x,b 2], és c = c 2,c 3, C4, c 5 ], ahol co = ao bo C0 = Vo Cl = "A + a 0b l C, = b\ ao + b 0a l c 2 = a 2b 0 + a {b x + a 0b 2 C2 = b 2a 0 + 6, a, +b 0a 2 c 3 = a 3b 0 + a 2b\ + a,Z> 2 ... ,b 2a l +b ta 2 + b 0a 3 c. — + a, Ca _ + b,a„ 4 C5 2 2 ....a,b 2 4 C5 13 ....b 2a 3 A fentieket mátrix alakban felírva:: co 1 ao 1 c 0 1 ~b 0 c, a\ a 0 1 ci C2 ai ao 1 c 2 b 2 C3 a3 ai b2 J C3 c 4 a3 a2 J C5 J J . C5 j b, b„ b, b„ b 2 b, bi\ c = B a űol (3) vagy röviden c = A • b , ahol A egy (n + m + l)x (m + l) méretű és B egy (« + m + l)x (n + l) méretű mátrix. A (2) képletben i>n esetén az a sorozatnak nincs ;-edik eleme, ]>m esetén pedig a b sorozatnak hiányoznak a /-edik elemei. A hiányzó elemeket „0"-val feltöltve, kapjuk: ,0,0] b=[b 0,b x,b 2,W] A fenti sorozatokat figyelembe véve a (3) az alábbiak szerint alakul: (4) co 1 c\ c 2 c 3 c A c 5 J «oj XI b, b 2 0 0 Loj C>J 1 al "2 0 J .0 J (5) ahol A és B (n + m + l)x (n + m + l) méretű négyzetes alsó háromszög mátrixok. 3. Sorozatok dekonvolúciója A sorozatok dekonvolúciójának meghatározásához szükségünk lesz az egység- és inverz-sorozat definíciójára: Egységsorozat: Egy tetszőleges hosszú sorozat, amelynek első eleme 1, és a többi eleme pedig 0, az egységeleme a sorozatnak, mivel egy a tetszőleges sorozattal vett konvolúciója maga az „a " sorozat 0, 0: e = [1,0,0,0,0,0] (6 ) # -[ö 0' öl' a2' a3,0,0], a* e-a.
