Hidrológiai Közlöny 2009 (89. évfolyam)

1. szám - Szigyártó Zoltán: A mértékadó árvízszint és a valószínűség

28 HIDROLÓGIAI KÖZLÖNY 2009. 89. ÉVF. 1. SZ. megállapítható, hogy a matematikai levezetéssel maghatározott eloszlásfüggvények közül kettőről, a Todrovic és Zelenhasic által levezetett és a Gumbel eloszlásról itt most külön is szólnunk kell. Ami a Todrovic és Zelenhasic által levezetett eloszlásfüggvény típust illeti, az bizonyos, hogy bár ennél a cél az árvédelmi müvek tervezése, vizsgálata során alkalmazható eloszlás levezetése volt, ezt ennek ellenére, bizonyára semmiképpen sem alkalmazhattuk. Egyszerűen azért nem, mert ez az eloszlás (bizonyos feltételek teljesülése esetén) egy megfelelően felvett küszöbszintet meghaladó valószínűségi változó eloszlását írja le. Tehát egy olyan eloszlásét, amelynek alkalmazását, mint lehetőséget — kellően átgondolt érvekre támaszkodva — már korábban, eleve kizártuk. Ugyanakkor a célnak már inkább megfelelőnek tűnhet a Gumbel eloszlás. Annyi ugyanis bizonyos, hogy korábbi vizsgálataink szerint (legalábbis a Duna egy vizsgált szelvénye esetében) a reggeli vízállások gamma eloszlást követnek (Csoma-Szigyártó 1969), s nem látszik önkényesnek az a feltevés, hogy ez igaz az ország összes többi, árvédelmi töltésekkel ellátott folyójára is. Más oldalról meg bizonyosan nem teljesül az a kikötés, hogy a vizsgált maximum egy azonos eloszlásból származó, egymástól független mintaelemeket tartalmazó minta szélső értéke legyen. Nem igaz ez két okból sem. Egyrészt azért, mert a hazai folyók éves vízjárására matematikai statisztikai szempontból a periodikusság a jellemző; (Csoma-Szigyártó 1969) tehát az éven belüli minták egyes elemei (a naponkénti vízállás észlelések) egészen bizonyosan nem azonos eloszlásból származnak. Emellett baj van a függetlenség kikötésével is. Ugyanis két vízállás (mint mintaelem) időben minél közelebb van egymáshoz, közöttük a kapcsolat minden vonatkozásban annál szorosabb. Tehát a Gumbel eloszlás matematikai levezetésének a feltételeire támaszkodva bizonyára nem dönthettünk úgy, hogy az évi legnagyobb jégmentes vízállások eloszlásául ezt az eloszlást választjuk. Ugyanekkor persze az nem kizárt, hogy (mint arról már szó volt) a valószínűségi változó és az eloszlásfüggvény sajátosságaira támaszkodva, ennek az eloszlásfüggvény típusnak az alkalmazását mégis csak érdemes megkísérelni. * * * Az elmondottak tükrében maradt tehát egyetlen lehetőségként a második út követése. Vagyis az, hogy az eloszlásfüggvény típusának meghatározásakor a valószínűségi változó, a minta és az empirikus eloszlásfüggvény bizonyos sajátosságaiból induljunk ki. Magával az elvégzett munka menetével kapcsolatban pedig a következő mondható: Annyi bizonyos volt, hogy a vízállás a vízmérce szelvény legmélyebb pontjának megfelelő értéknél kisebb nem lehet, tehát a valószínűségi változó szigorúan véve alulról korlátos kell legyen. Bizonyos volt azonban az is, hogy bár a szóban forgó vízállás az égig biztosan nem érhet, a felső határa valahol elég magasan kell legyen, s ezt figyelembe venni nemigen lehet. Ezért az eloszlás első közelítéseként nyílván szóba kerülhetett bármely folytonos, alsó korláttal rendelkező eloszlás; így akár a gamma- akár a Gumbel-, a kár pedig logaritmikus normális eloszlás. Más oldalról az is bizonyos, hogy az empirikus eloszlásfüggvények alakja szimmetrikus eloszlásra utalt. A szimmetrikus eloszlással közelítés pedig még az alsó határral rendelkező eloszlások esetében is jó eredményt adhat akkor, ha a minta legkisebb eleme az alsó határtól elég távol van, illetve a mintából számított harmadik centrális momentum igen közel van nullához (Csoma-Szigyártó 1975, 105. o.). Ez utóbbira lehetett tehát visszavezetni azt, hogy az évi legnagyobb jégmentes vízállás, mint valószínűségi változó eloszlásaként szóba kerülhetett a normális eloszlás is. Ehhez a problémakörhöz kapcsolódva szólni kell továbbá arról is, hogy az 1970-es évek elején nem állt rendelkezésünkre olyan összefüggés, amellyel a háromparaméteres logaritmikus eloszlás alsó határának az értékét becsülhettük volna. Ezért már a vizsgálatok legelején úgy döntöttünk, hogy ezt az értéket — közelítésként — azonosítani fogjuk a háromparaméteres gamma eloszlásra kiszámított hasonló értékkel. Végül meg kell emlékezni arról, hogy a részletesebb vizsgálatra előirányzott eloszlások előbb említett köre a későbbiek során tovább szűkült az által, hogy az empirikus harmadik centrális momentum értéke sok esetben nullához közeli, negatív értékre adódott. Ez ugyanis kizárta annak lehetőségét, hogy egyes minták esetében az alsó határral rendelkező háromparaméteres gamma eloszlást és a háromparaméteres logaritmikus normális eloszlást az anyasokaság eloszlásának a közelítésére felhasználjuk. így született meg tehát végül is az a döntés, hogy az összes rendelkezésre álló, több mint száz mintát felhasználva, a Kolmogorov-féle próbával minden esetben megvizsgáljuk azt, hogy az empirikus eloszlásfüggvényre miként illeszkedik a normális és a Gumbel eloszlás, s az illeszkedés vizsgálatok így kapott összes eredményére támaszkodva döntünk majd az alkalmazandó eloszlásfüggvény típusa felől. A részletek mellőzésével a két eloszlásfüggvény közüli választással kapcsolatos legfontosabb tények és megfontolások aztán a következőkben foglalhatók össze (VITUKI 1976,46-59. o.). A feladat megoldását jelentősen segítette az, hogy (mint láttuk) a fizikai folyamatok végeredményét tükröző valószínűségi változók esetében ezek eloszlása a szóban forgó változót létrehozó fizikai adottságoktól függ. Vagy másképpen fogalmazva: alapjaiban azonos jellegű fizikai folyamatok eredményeként létrejövő valószínűségi változók azonos típusú valószínűségi eloszlással jellemezhetők. Tehát volt alapja annak, hogy az említett körülményt érvényesnek tekintsük a mi esetünkben, a csapadékhullás vagy hóolvadás eredményeként létrejövő, magas vízállásokat eredményező összegyülekezési folyamatok esetében is. Ami pedig megalapozta azt a döntésünket, hogy az évi legnagyobb jégmentes vízállás, mint valószínűségi változó eloszlásának a jellemzésére, az ország minden árvédelmi töltéssel ellátott folyójának minden szelvényében, azonos típusú (tehát vagy normális vagy pedig Gumbel) eloszlásfüggvényt fogunk alkalmazni. Végül, a két függvénytípus közötti, s az illeszkedés vizsgálatok eredményére támaszkodó választást az a körülmény tette lehetővé, hogy a Kolmogorov-féle illeszkedés vizsgálat P

k eredménye maga is egy 0 és 1 között egyenletes eloszlással rendelkező, 0,5 várható értékű va-