Hidrológiai Közlöny 2008 (88. évfolyam)
5. szám - Gálai Antal: A web-kamerás folyami jégmegfigyelés alapjai
16 HIDROLÓGIAI KÖZLÖNY 2008. 88. ÉVF. 5. SZ. ^ A _ 1H A[ri ro t] ri x r 2 (A-t a 1 A-'h, (32) H = AA[r x r 21] míg r3 a merőlegességből: r3 = II A ' h'll és/vagy normaképzés küszöböli ki.) A mérési és számítási zajok okozta hatások csökkentésére az így képzett rotációs és eltolási mátrixból kapott eredmények további finomítása érdekében kihasználhatjuk a teljes R mátrix - eddig csak oszlopain figyelembe vett - ortonormalitását is. Nevezzük Q mátrixnak a fenti módon R-re kapott közelítő ||R - Q " II R-Q|IF = Mivel az „I" egységmátrixban csak a föátlójában van 3 db l-es, továbbá Q már kiszámított konstans mátrix és a transzponálás és szorzás fogalmából következik, hogy R rQ = (Q TR) T. a becslést, amellett vegyük figyelembe, hogy R rR=I, ahol I az egység mátrix. A lehetséges „legjobb" R értékek elérése érdekében az összes elképzelhető módon minimalizálnunk kell az R-Q különbségmátrixot, beleértve a jelen vizsgálatban használt Frobenius-féle normának nevezett - a szakirodalomban régebben németül „spur"-nak, az újabb angolszász terminológiában „trace"-nek nevezett - „nyomát" is: •H|r-Q||* ahol: (33) R JQ Q TR Q rQ) 2 f = trace((R - Q) 7 (R - Q)) = trace(R' R trace(I)-2trace(n TQ)+trace(Q TQ) = 3+tracc(Q rQ)-2írace(R rQ) — min tását: Q = UDV r ahol a diagonális D=diag(a 1,a 2,<Js) mátrix a föátlójában a Q szinguláris értékeivel, melyek épp a Q rQ sajátértékeinek (ai 2,o 2 2,ct 3 2) -nek a négyzetgyökei, míg U és V a QQ 7 és Q'Q sajátvektorait tartalmazó ún. modális mátrixok, s emiatt U és V ortogonálisak. Találnunk kell egy U és V mátrixokból R mátrixhoz vezető utat, mely kielégíti a rotációs mátrix tulajdonságait. A mátrixszorzás fogalmából fakadóan a kihasználhatjuk a szorzat nyomának ciklicitását: fenti minimalizálás ekvivalens a trace(R Q) —> uuu. maximalizálással. Mivel Q mátrix R zajjal terhelt perturbációja, ezért a Q rQ értékének R közelében lehet és kell is lennie. Ennek igazolására tekintsük Q = UDV r alakú szinguláris dekompozícióját. Tekintsük a Q mátrix szinguláris értékek szerinti felbon (V rR rU)(V TR TU) T = V rR TUU rRV r = (V r(R r(UU T)R)V) (34) vagyis V rR rU is szintén ortogonális jelöljük Z-vel, s mivel D mátrix diagonális: trace(R rQ) = írace(R TUDV T) = írace(V rR rUD) = trace( ZD) = ]T z na, < ^ a, és a maximum az „egyenlőség" esetén áll fenn, ami az R-ként az UV 7 választását igényli, vagyis a Q becsléshez legjobban illeszkedő rotációs mátrix a Q rQ modál mátrixaiból állítható elő. Sugár irányú torzítás A H meghatározásánál használt jelölést alkalmazva, A sugár irányú torzítás a lencse és a fényérzékelő lapka most az m,=H-M, egyenletekben H ismert mi=[Ui;v,l r isgeometriai eltérésétől függő (u 0;v 0) képfőponttól való távol- mert képbeli pixel-koordináták. ság páros kitevőjű hatványaként kerül figyelembe vételre. A kamera-kalibráló szakmai közösség körében elterjedt egyöntetű vélemény szerint a sugárirányú torzulás a többi geometriai eltéréshez viszonyítva alapvető mértékű. u h^M, = h[M, & v h[M, = h[M, a fenti egyenletektől való eltérés számítható: hf M; c A h^Mj Auj = Ui X Xd y. y<>_ (1 + fc 1r 2+fc 2r 4) Mivel h^M, „2 & A íj, hjM, (36) (37) |A,| - Ati; 4 At); és A az (u,„vj ponttól mért t (35) Az u, és v, pixel koordináták a HM, kamera-koordinátákból keletkeznek, m képünk és n pontunk van, melyekre felírt egyenletekből kapjuk |Ui,Vi| r=A(RtlMi ahol a H homogén leképezés mátrixán belüli R a modell sík különböző m képét (v. a síkra néző m különböző kamerapozíciót) jelenti. (Ui - u„) íf (u, - m„) tj _(Vi~V 0)tf (Vi-V„)t\ E két egyenletet minden egyes i pontra, összesen n-szer felírva a Dk = d mátrix-egyenletet kapjuk, melynek legjobban illeszkedő megoldásához a homogén leképezés H mátrixának meghatározásánál ismertetett gondolatmenet alapjánjutunk: (Meg kell azonban jegyeznünk, hogy a D-t alkotó egyenletpár végül is egyetlen egyenlet információját hordozza, tehát felírhatjuk egyetlen '?][*»> alakú egyenletbe foglalva is, aminek következtében egy fele akkora D együttható-mátrixot kapunk azonos információmennyiséggel.) k = (D rD)1D rd (40 ) Nemlineáris statisztikai paraméterbecsléssel a fenti okoskodással kapott számítási eredmények tovább finomíthatók. Az építőmérnöki gyakorlatban - különösen a hidrológusok körében - ismerősen cseng a maximum likelihood becslés, aminek kezdő-értékéül használhatjuk a fenti számolások eredményét. A fokozatos közelítés elvét követve a számításokat ciklikusan iterálva, tovább konvergáltathatjuk kalibrációs adatainkat. távolságtól függ, ezért I t 2 = (u u — uo A u &ií 2 + k 2t* t - u„l & •+(vV — vo ahol t>„) 2 Av (38) vagyis minden egyes i pontra At;, és Au, kiszámolható és a következő egyenletrendszer együtthatóiba behelyettesíthető: Atijí, A ViU (39) A jégborítottság becslése A folyót figyelő webkamera egymást követő felvételeinek feldolgozása során egyrészt meg kell határoznunk a pillanatnyi jégborítottságot, másrészt a jégtáblák követésével a felszíni elmozdulás és elfordulásokra kell a képek alapján becslést végezni. A fentiekben vázolt menetű kamera-kalibrációt követően rendelkezésünkre áll a kamerakép pontjai és a vízfelszín síkja közti perspektivikus leképezést leíró vektor-vektor függvény, melynek segítségével a képenkénti jégpontok összességéből meg tudjuk határozni a vízfelszíni jégfedettséget. Az összefüggő jeges pontok alkotta jégtáblák határpontjait felderítve, azok alapján a jégalakzatok pillanatnyi és invariáns jellemzőit is meghatározhatjuk, minek segítségével a súlypontok elmozdulása és a jellemző tengelyek elfordulása kiszámítható. A web-kamerán alapuló jégborítottság-becslés megoldásához használt alapelv vagy 150 évre tekint vissza. A felfedezője, Carl Gustav Jacobi (1804-1851) emlékére a vektor-analízisben jól ismert, s róla elnevezett Jacobi-mátrix a vektor értékű többváltozós függvények első rendű parciális deriváltjait tartalmazó táblázat. A belőle képzett Jacobi determináns a többváltozós függvények deriváltjához hasonló fogalom, szokásos jelölésmódjai a következők:
