Hidrológiai Közlöny 2008 (88. évfolyam)

4. szám - Pattantyús-Ábrahám Margit–Tél Tamás–Krámer Tamás–Józsa János: A kaotikus advekció vizsgálata sekély tavakban a klímaváltozás figyelembe vételével módszertan és alkalmazás

42 HIDROLÓGIAI KÖZLÖNY 2008. 88. ÉVF. 4. SZ. (2/B ábra). A Lagrange-i fixpont helye nem-permanens áramlásban az idővel változik. Mivel itt anyagi vonalakról van szó, a stabil sokaság egyik oldalán elhelyezkedő víz a sokaságot nem keresztezheti. Ezért a sokaságok egyfajta határvonalat képeznek, közelükben értelemszerűen vonalasítják az áramlásokat. 2. ábra. A) Euler-féle stagnációs pont (szürke négyzet), mint az áramvonalak metszéspontja. B) Lagrangeszemléletű hiperbolikus pont (szürke pötty) és sokaságai (szaggatott vonallal egy részecske pályáját jelöljük) Egyetlen részecske mozgásának leírásával azonban az elkeveredés, hígulás folyamata nem fogható meg. Az elkeveredés leírásánál sokkal közelebb kerülünk akkor, ha részecskéket szimultán követve, egymástól való eltávolodásuk leírására összpontosítunk Egy részecskefelhő követésén, és a fixponthoz való közeledésével bekövetkező alakváltozásán ezt szemlélteti a 3. ábra. A kezdetben kör alakú folt a stabil sokaság irányából közelíti a hiperbolikus pontot és annak közelébe érve megnyúlik az instabil irányok mentén. Ha a vizsgált vízrészt a 3. ábrán látotthoz hasonlóan a stabil sokaság „kettévágja", akkor ha a vízrész tetszőlegesen kicsi is, az egymáshoz közeli, a stabil sokaság két oldalára eső vízrészecskék egymástól drasztikusan eltávolodnak. Ismert, hogy az eltávolodás mértéke a hiperbolikus fixpont közelében exponenciális (Tél és Gruiz 2003). Ha azonban a vízrész egészében a stabil sokaság egyik oldalára kerül, abban a fixponttól távolodva is közel maradnak egymáshoz a részecskék. Mindez egyúttal azt jelenti, hogy az elkeveredés nagyon érzékeny a kezdeti feltételekre, nevezetesen a követett részecskék kezdeti elhelyezkedésére, ami a vízrész alakjának fejlődését jelentősen meghatározza. t • / / / / 2 t=0 3. ábra. Kezdeti kör alakú folt megnyúlása a hiperbolikus pont környékén A víztest keveredési viszonyainak fent említett is tulajdonságait is visszatükrözni képes leírási módszernek adódik az Aurell és társai (Aurell et al, 1996, 1997) által bevezetett Véges Méretű Ljapunov-Exponensek (VMLE, angolul FSLE: finite size Lyapunov-exponents) módszere. Itt egy kiválasztott tetszőleges vízrészecske szomszédjaitól való eltávolodásának mértékét az exponenciális jelleghez illeszkedve a következő képlet fejezi ki: T ° , ahol x az az időtartam, amely alatt egy részecske szomszédjaitól vett távolsága a kezdeti ö

0 értékről eléri a az előre megadott 5/, határtávolságot (4. ábra). 4. ábra. A VMLE számításának sematikus ábrája 1 részecskepárra Ezt kiszámoljuk a tavon sodródó nagyszámú részecske esetére egy adott időpontra. Az eredmény így egy, a tavat lefedő VMLE eloszlás lesz. A nagy VMLE értékek gyorsan, kis értékek lassan távolodó, következésképpen hatékonyan illetve mérsékelten híguló részeket jelölnek. Ez az eljárás sekély tavak esetén jó kiértékelését adja az elkeveredés struktúrájának, amint azt Pattantyús-Ábrahám et al. 2006 megmutatta. Az 5. ábrán látható a vizsgált tavon a VMLE eloszlás az ÉK-ÉNy szélfordulás időpontjában. A világos színek jelzik a jól, sötétek a rosszul keveredő részeket. A jól keveredő részek vékony, kacsos sávokba rendeződnek. Ezek a sávok valójában a stabil sokaságokat rajzolják ki, ahonnan induló részecskék a hiperbolikus fixpontot elérhetik. Ezek a vonalak szinte az egész tavat behálózzák, így szinte mindenhol jó keveredést várhatunk. 500 1000 1500 5. ábra. Az EK-ENy szélfordulás időpontjában vett VMLE fh 'j eloszlás a vizsgált modelltavon. Szürke pöttyel egy hiperbolikus fixpontot jelöltünk, a nyíl pedig egy rosszul keveredő résztartományra mutat A nagyobb értékhez köthető kacsok közt alacsonyabb értékű helyek találhatóak. Ezt úgy értelmezhetjük, hogy a jól és rosszul keveredő részek „váltogatják" egymást. Ezeken a területeken az, hogy egy adott részecske gyorsan eltávolodik-e a szomszédjaitól vagy sem, nagyon függ a kezdeti helyétől. Mégis, ha globálisan nézzük, ezeken a helyeken (ahol kacsos a VMLE eloszlás) találkozhatunk a legnagyobb keveredéssel, hiszen hiába ma-