Hidrológiai Közlöny 2006 (86. évfolyam)
5. szám - Tanulmányok, ismertetések - Sokoray-Varga Béla–Józsa János: Akusztikus Doppler-elvű terepi turbulencia-mérések módszertana és adatelemzése
^OKO^A^VARGA^R^J^ÓZS^^^Akusztik^ 31 kezelendők. így a matematikai statisztika összefüggéseinek alkalmazásakor a folytonos függvényekkel szemben a T intervallumon való integrálás helyett egy diszkrét pontokból álló idősorok n elemű összege használandó, ahol n = T/At, T a vizsgálati időhossz, At a mintavételek közt eltelt idő. Az alábbiakban a teljesség kedvéért a statisztikai módszerek párhuzamosan mind folytonos, mind diszkrét esetre bemutatásra kerülnek. 3.2. Átlagértékek A sebesség egyes koordináta-irányok szerinti, időbeli átlagértékei a következőképpen definiálhatók: 3.3. Pulzációs összetevő Fentiek alapján a pulzációs összetevő a sebességnek az átlagértéktől való pillanatnyi eltérése: u'(t) = u(t)-ü, v'(t) = v(t)-v, w'(t)=w(t)-w, amelyekre Tkellőképpen nagy értékénél: A turbulenciára jellemző paramétereket és összefüggéseket elsősorban a pulzációs tagok képezte idősorok statisztikai elemzésével állapíthatunk meg. A pillanatnyi sebességpulzálást képviselő u', v' és w' tagok négyzetes középértéke a centrális második momentumot, vagyis a a u~, a\ 2 és <t h: (néha varianciának is nevezett) szórásnégyzeteket adja. 3.5. Autokovarianeia és autokorreláció függvények Az autokovariancia-függvény elsődlegesen azt mutatja meg, hogy valamely időtől változó függvény illetve adatsor milyen mértékű függésben áll saját, r időlépéssel korábbi állapotával. A vizsgált idősor valamennyi elemét rendre megszorozza az idősor r-val korábbi elemével, az így kapott szorzatok összegének átlaga adja az autokovariancia-függvény T idő-eltoláshoz tartozó értékét. Ha például a vizsgált pulzációs idősor tartalmaz periodikus összetevőket, akkor hasonló periodicitás az autokovariancia-függvényben is megjelenik. A függvény segítségével tehát megmutatható ez a tulajdonság, számszerűsítésére azonban a függvény Fourier-transzformáltjaként előállított spektrális eloszlás ad módot. A turbulens áramlások sebességpulzálására azonban általában sokkal inkább jellemző, hogy időben haladva a korábbi állapotaitól - egyre gyengülő - függést mutat, mint a viszkózus folyadékok turbulens áramlásának egyik alapvető tulajdonsága, és ez által az autokovariancia-függvény az áramlást jellemző turbulens örvények tér és időbeli léptékének közvetett mutatójaként használható (léptékek becslését lásd később). A 0-lépéses autokovarianeia (r = 0, illetve At = 0) értelemszerűen a szórásnégyzetet adja. Ha a pulzálás teljesen véletlenszerű (azaz ún. Gauss-i fehér zaj) lenne, akkor az autokovariancia-függvény 0-nál a szórásnégyzetet, másutt 0 értéket venne fel. Folytonos, illetve diszkrét esetre az autokovarianciafüggvény például x-irányban a következőképpen áll elő: Folytonos függvény eseté n <Puu (r) = f w (t)• «' (/ + r)dt T~ r 0 ahol T az értelmezési tartomány, r az eltolás mértéke Diszkrét idősor eseté n (p m{M) = ^-Y ju\t)-u\t + M) n — k At az eltolás mértéke, k az eltolás miatt kieső elemek száma Az ebből származtatott p(z) autokorreláció-függvény nem más, mint az autokovariancia-függvény szórásnégyzettel standardizált alakja. Az autokorreláció-függvénynek az értékei tehát 1 és -1 közé esnek. Példaként egy, a mérésekből kapott jellemző autokorreláció-fuggvényt mutat a 7. ábra, ahol az idő másodpercben értendő. 7. ábra: Egy jellemző autokorreláció-függvény Fentiekből következően, tiszta véletlen folyamatra az autokorreláció-függvény értéke 0-nál 1, másutt 0. 3.4. Szórásnégyzet Folytonos függvény esetén 1 ,+ T = - \[u(t)-üfdt 7 = <7, 2 1 ,+ T = - J[v{t)-vfdt w^ = aj = j\[w(t)-W?dt Diszkrét idősor esetén -i[u-üf -iív.-vf 1±[v,.-w] 2 n m Folytonos függvény esetén Diszkrét idősor esetén 1 ' +e «=- J u(t)dt 1 ' +r v= - \v(t)dt 1 1+7 w = 7 jw(t)dt 1 " n i =, 1 " » m 1 " n m Folytonos függvény esetén Diszkrét idősor esetén 1 '* T U'=- ju'(t)dt = 0 1 ,+ T v'=— jv'(t)dt = 0 1 ,+ T w'=- \w'(t)dt = 0 ü'=^±u] = 0 " M v'^Z^O n m 1 " w' = — V w\' = 0 " M
