Hidrológiai Közlöny 2003 (83. évfolyam)
5. szám - Csoma Rózsa: A vízvezető réteg jellemzőinak lokális megváltozása az analitikus elemek módszerével modellezve
CSOMA^_^vizvezetöjítegjelle^ 265 A következő pontban Strack, 1987. és 1989; Haitjema, 1995; Csorna, 1995, alapján a "merőleges vonal menti dipólusok láncolatának" matematikai leírását foglaljuk össze. Ehhez a komplex potenciált (fi^+iV) alkalmazzuk, melynek valós része a potenciálfüggvény, <Z> = 9i(f2), képzetes része pedig az áramfilggvény, V /=J(Í2). A O potenciálból a (2) illetve (3) alapján kapható a talajvízszint vagy nyomásszint. 3.2. Matematikai leírás 3.2.1. A dipólus Inhomogenitások leírásánál a kiindulás a dipólus, mely az azonos erősségű forrás és nyelő összetételének azon határesete, mikor is a két elem közötti távolság 0-hoz tart. Ha az x tengellyel ß szöget bezáró egyenes mentén a z 0 + A helyen egy Q vízhozamú forrás, a z 0- A helyen pedig egy vele azonos vízhozamú nyelő van, (2. ábra), az összegzett komplex potenciál az alábbi: (7) 2. ábra: Forrás-nyelő pár Áttérve a komplex mennyiségek exponenciális leírására, képezve a A 0 határátmenetet, valamint figyelembe véve, hogy Hm(2QA) = s (8) A^O a vízhozam-függvény konjugáltjának segítségével a (7) alapján az alábbi komplex potenciál kapható: >ß Qd = so 2 TT Z - Z N = S o HP-6) 2nr (9) Az s komplex mennyiség a dipólus momentuma, melynek argumentuma az előbbi ß szöggel egyezik meg, míg abszolút értékét s 0 jelöli. A (9) összefüggés további jelölései a 3. ábrán láthatók. A\ y 3. ábra: Dipólus a íq helyen A fenti formában bemutatott dipólus potenciál- és áram függvénye az alábbi formában adható meg: a>d=*(n d) so 2nr cos(G-ß); (10) 27TT 3.2.2. Merőleges vonal menti dipólus Merőleges vonal menti dipólus alakul ki a 4. ábra szerinti (z,, z 2) szakasz mentén, ha az ott folytonosan elhelyezett dipólusok x tengellyel ßszöget bezáró s momentuma merőleges a szakaszra. A 4. óira jelöléseivel ez a következőtjelenti: ß = a+^.A 4. ábra: Merőleges vonalmenti dipólus Figyelembe véve a dipólus (9) komplex potenciálját, a momentum s 0 abszolút értékét A^lal jelölve, a 8 helyen levő dipólus az alábbi komplex potenciállal jellemezhető: Í2 d = Ao e i(a+n/2) o in/2 ii Ao e e 2 71 z-ő Aoi e'° 2n 1 z-S A (11) 2n z-ő 2m z-ő ahol a A a dipólus erőssége, melynek iránya a (z,, z 2) szakasz irányával (a) egyezik meg, tehát merőleges az s momentum irányára. A (11) összefüggés (z t, z 2) szakasz menti integrálása csak Taylor-sor segítségével, közelítően végezhető el. Figyelembe véve a 1. függelék transzformációját is, kapjuk az alábbiakat: A fi dm = 1 f— 2m J 2 - i A(Z) In 2m J z r; Z-l (12) + ip(Z) 2m Z +1 ahol a A(Z) és pfZ) valós együtthatójú komplex polinomokkal közelíthetők, melyek közül a A(Z) fokszáma eggyel magasabb. A merőleges vonal menti dipólus olyan áramképet ad, melynek áramfüggvénye az elem mentén folytonos, a d> potenciál-függvénynek azonban véges szakadása van. A kétoldali potenciálértékek különbsége maga a A. 3.2.3. Elsőfokú merőleges vonal menti dipólusok láncolata A merőleges vonal menti dipólosok zárt sokszögvonal mentén láncolatot alkothatnak (5. ábra). Legyen ekkor a y'-edik szakasz a (j,j+l) csomópontok között. A A(Z) polinomot, figyelembe véve az 1. függelék transzformációját is, az alábbi kifejezéssel közelíthetjük: A(Zj) = ~j(Zj - í) A e J + |(Z 7 + l) Ae.j+I (13) Ez a Z transzformált helyvektor elsőfokú függvénye. Itt már a A e J illetve A,j+, valós. A Z ; helyvektor a (JJ+1) szakasz 1. függelék szerinti transzformációja alapján: z-j(zj + z j +i) Zj = Xj + iYj = —— (14) i(z j +i-zj) A (13) figyelembe vételével, a (12) komplex potenciál
