Hidrológiai Közlöny 2003 (83. évfolyam)

5. szám - Csoma Rózsa: A vízvezető réteg jellemzőinak lokális megváltozása az analitikus elemek módszerével modellezve

266 HIDROLÓGIAI KÖZLÖNY 2003. 83. ÉVF. 5. SZ. alapján a merőleges dipólus-sorok sokszöget alkotó láncolata az alábbi komplex potenciállal jellemezhető: UZjJ = -j(Zj - l)Xej + j{Zj + Í)x

eJ

+, (13) Ez a Z transzformált helyvektor elsőfokú függvénye. Itt már a Á

e

j illetve A

e

j., valós. A Z

; helyvektor a (JJ+1) szakasz 1. függelék szerinti transzformációja alapján: /N Zj = Xj + iYj = z-j{zj + zj

+

l) j(z

j

+i-zj) (14) 5. ábra: Vonal menti dipólusok láncolata A (13) figyelembe vételével, a (12) komplex potenciál alapján a merőleges dipólussorok sokszöget alkotó láncolata az alábbi komplex potenciállal jellemezhető: ^ = ~Y

u^e.j^F(Zj)+G(Zj-,)^ (15) ahol az összegzés a teljes zárt sokszögre kiterjed, azaz j = 1 esetén j-1 = n. Az F és G segédváltozók szintén a Z transzformált helyvektor függvényei az alábbiak szerint: ^(ZjJ'-HZj-^lnj^-l; Zj 1 (16) (18) melyek logaritmikus szingularitásai a Z = 1 és Z = -/ helyen a lim (z In z) = 0 (17) z->0 határérték figyelembe vételével kiküszöbölhetők. A (15) alapján ay-edik csomópontra vonatkozó potenciál- és áramfüggvény az alábbi lesz: 0e,j = ü

e,j) = Aej Aej (X, y) Ye.j = yOe.j) ahol az A

e

J(x,y) csak a vizsgált elem geometriai viszonyaitól függ, melynek további részletezésétől eltekintünk. Az egyes összefüggésekben használt e alsó index az elsőfokú közelítésre utal. 3.2.4. Másodfokú merőleges vonal menti dipólusok láncolata Legyen az 5. ábrán látható sokszög y-edik szakaszán, azaz a (Jj+1) csomópontok között a Á(Z) polinom másodfokú. Ehhez a szakasz két végpontján kívül még egy pontra szükség van, mely célszerűen a szakasz középpontja (6 ábra). Figyelembe véve az 1. függelék transzformációját is, a MZ.) polinom a y-edik szakaszon az alábbi kifejezéssel közelíthető: A,mJ -1 Xm.j+1 1 6. ábra: Másodfokú közelítés l 2' A(Z

i) = \z

j{z

rÍ)A

m,

j(19) - [Zj - l){Zj +1) X'

m,j + jZj[Zj + /} Am,j+1 mely a Z transzformált helyvektor másodfokú függvénye. A Amj, Á'

m

j illetve Amj., mennyiségek továbbra is valósak. Fentiek figyelembe vételével a teljes, zárt sokszög alakú másodfokú dipólussor komplex potenciálja az alábbi: 1 " WJ LJ - Vmj H(Zj)} és (20) Lj = F(Zj) + j H(Zj) + G(

Z

jJ + j H( Zj.i) ahol az összegzés a teljes zárt sokszögre kiterjed, azaz j = 1 esetén j -1 = n. Az F és G segédváltozók a (16) alapján számíthatók, míg H segédváltozó az alábbi: H(Zj)=(z

2j-l)ln-^- + 2Zj (21) x ' Zj +1 ahol a Zj a (14) szerint határozható meg. A szingularitás a korábbiak szerint kiküszöbölhető. A (20) alapján a y-edik szakasz potenciál- illetve áramfüggvénye az alábbi lesz: 0

m.j = W(í2

m

J) = = Äm.j A

m

j (X,y) + A'

m

j A'm.j(x,y) (22) m,j ~ f2m,j) ahol az A

m

J(x,y) és A 'mj(x,y) csak a vizsgált elem geometriai viszonyaitól függ, melynek további részletezésétől eltekintünk Az egyes összefüggésekben használt m alsó index a másodfokú közelítésre utal. 3.2.5. Az összegzett potenciál, az ellenőrző pont és a feltétel A (4) alapján belátható, hogy a ¥ áramfüggvény a B mentén folytonos, míg az (5) illetve (6) arra utal, hogy a kétoldali & potenciálok eltérőek. Ezt a különbséget adja meg a A dipólus-erősség, mely a kétoldali potenciálok különbsége. A A értéke a számítások kezdetén természetesen nem ismert. így a 2. pontban említett összegzett potenciál, mellyel a teljes áramlási tér leírható, inhomogenitások esetén mindenféleképpen két részből áll, az ismert U és az ismeretlent is tartalmazó V potenciálból. Ezen utóbbi tartalmazza a dipólus-sorok ismeretlen intenzitás-értékeit is. Ennek meghatározásához ellenőrző pontokra és a hozzájuk tartozó feltételekre van szükség. Más módszerek esetén ezen feltéteket gyakran nevezzük perem- vagy határfeltételnek, mivel általában a vizsgált terület fizikai határán jelennek meg. Jelen esetben - bár matematikailag rokon jellegű