Hidrológiai Közlöny 2000 (80. évfolyam)

4. szám - Péntek Kálmán–Veress Márton–Szunyogh Gábor: Karsztos formák matematikai leírása függvényekkel

PfeNTEK. K. - VERESS M. - SZUNYOGH G : Karsztos formák matematikai leírása 201 tengelyen pedig a <p szöghöz tartozó r^cp) (1 < k < n-1) távolságot ábrázoljuk A kiszemelt töbör alakjának a forgási szimmetriától való eltérését skaláris, valamint vektorális mennyiséggel is jellemezhetjük. Először a forgási aszimmetria skaláris jellemzésével foglalkozunk. Ehhez határozzuk meg a (24) összefüggésben szereplő valamennyi r^cp) (1 < k < n-1) függvény esetén az (25) m

k: = min r

k((p),M

k: = max r

k((p){\ < k <n-\) (26) minimális és maximális függvényértékeket. Ha szintvonalanként e két pozitív értékre úgy gondolunk, mint a valóságos szintvonal-alakot megközelítő ellipszis kistengelye, illetve nagytengelye felére, akkor a töbör megnyúltságának jellemzését adhatjuk a kúpszeletek elméletéből ismert k~ K numerikus excentricitás segítségével. Az (1 < k < n-l) értékekre teljesül a 0 <e

k <1 egyenlőtlenség, amely csakis a körvonal esetén 0, s minél jobban eltér a szintvonal a körtől, annál jobban megközelíti az 1 értéket. A megvizsgált töbör átlagos megnyúltságának jellemzésére bevezethetjük az (1 !£*<n-l) (27) l = -L n-l n-l (na 2) egy (1 < k <n-1, 1 <j<m) vektort az alakzatról készült szintvonalas térképen E vektor legyen a (p^ irányba mutató egységvektor valamilyen célszerűen választott egységet rögzítve, ha a (p

k

Q

> irányban r^cp) függvénynek van lokális maximuma, s legyen a vektor 0 zérusvektor, ha a mondott irányban az r^cp) függvénynek nincs lokális maximuma, ahol 1 < k < n-\ és 1 <j<m mennyiséget, amelyre nyilvánvalóan fennáll a 0 < e < 1 egyenlőtlenség, továbbá a konstrukció alapján világos az is, hogy e értéke lényegében független a töbröt leíró szintvonalak számától. Természetes, hogy a nagyobb szintvonalszám nagyobb pontosságot jelent e értéke szempontjából. Könnyen beláthatjuk azt is, hogy e = 0 pontosan akkor következik be, ha a töbör tökéletesen forgásszimmetrikus. Más esetben 0 <e teljesül (Péntek, K. 1998). A töbör megnyúltságának finomabb elemzését a (26) tal értelmezett numerikus excentricitásnak az x mélységtől való függése meghatározásával végezhetjük el. Láthatjuk, hogy több, egészen eltérő irányban megnyúlt töbör rendelkezhet azonos megnyúltsági mérőszámokkal, amelyeket a (26) és a (27) formulákkal definiáltunk. Ezért szükséges a forgási aszimmetria vektorális mennyiséggel történő jellemzése is. Ehhez határozzuk meg a (24) összefüggésben szereplő valamennyi r^cp) (1 < k < n-l) függvény esetén a lokális maximumok helyeit, vagyis azokat a <p/'\ (p

k

2\ ..., <p

)

t

('"

>, e[0,27c] irányszögeket, amelyek egy-egy bizonyos környezetében r^cp;.

(1

)), rá<Pk

2

)) r^

m

)) maximális. Tapasztalataink szerint e (p

k

w (1 < k < n-1, 1 <k <m) irányszögeket a szintvonalak sorszámát jelző k index függvényében vizsgálva azok m számú jól kijelölhető irány körül szóródnak. Természetesen előfordulhat, hogy e helyi maximumok valamelyike nem az összes n-l szintvonal síkjában létezik hanem csak a szintvonalak egy részénél található meg. Ezután a töbröt leíró valamennyi szintvonal esetén mérjük fel a poláris koordináta-rendszer origójából egy4. ábra Egy töbör irányultsági vektorának megszerkesztése Ekkor az n-\ Íí (28) (1 <j<m, n> 2) vektorokat a vizsgált töbör irányultsági vektorainak nevezzük. Ham = 1, akkor egy irányban megnyúlt, ha pedig m > 1, akkor több irányban megnyúlt mélyedésről beszélünk.