Hidrológiai Közlöny 2000 (80. évfolyam)

4. szám - Péntek Kálmán–Veress Márton–Szunyogh Gábor: Karsztos formák matematikai leírása függvényekkel

202 HIDROLÓGIAI KÖZLÖNY 2000. 80. ÉVF. 4. SZ. Figyeljük meg, hogy az i

w irányultsági vektorok abszolút értékére nézve fennáll a 0< | i

w | < 1 (1 <j<m) egyenlőtlenség, továbbá | i

w | =1 pontosan akkor következik be, ha valamennyi szintvonal megnyúltsági iránya azonos, minden más esetben | i

w | <1 teljesül. Ezen irányultsági vektor megszerkesztését szemlélteti az m = 1 legegyszerűbb esetben a 4. ábra (Péntek, K., 1998). Látható, hogy a töbörhöz a (28) összefüggéssel hozzárendelt irányultsági vektorok iránya lényegében független a töbröt térképező szintvonalak számától. A töbörhöz rendelt síkbeli Descartes-féle koordináta-rendszerben (29) e .0) coscp[p,sin<|)[pj (1 <k<n-[, 1 <j <m) ha e

k

{

,'t- 0, különben értelmezése szerint e^'

1 = (0,0), ezért (30) i® = —I— HTcosjffusing ) (1 <j < m) n-l\£i Tt J adja az irányultsági vektorok koordinátás előállítását. Végül a vizsgált töbör átlagos irányultságának jellemzésére bevezetjük az (1 <j<m) irányultsági vektorok (31) 1 U) m 7=1 m n— 1 ÍZsin^'» j=1 k=1 J átlagát. A (30) és (31) összefüggések alapján beláthatjuk, hogy az átlagos irányultsági vektort a töbörhöz hozzárendelt síkbeli Descartes-féle koordináta-rendszerben ^ í m I! ! m n-1 ^ (32) i = XZ

COS

(P m(n- 1) módon írhatjuk fel A fentiekben ismertetett módszerrel a vizsgált karsztos terület valamennyi töbréhez meghatározhatjuk a megnyúltságát és irányultságát jellemző mennyiségeket. 4. Gyakorlati morfometriai számítások A 2. és a 3. fejezetben a töbrök elméleti leírásával foglalkoztunk. Most ezek alkalmazásaként olyan, a matematikai statisztika módszerein alapuló gyakorlati eljárásokat ismertetünk, amelyekkel meghatározhatjuk a karsztos térszínek töbreit jellemző függvényeket. Gyakorlati számításaink során elsősorban Mcc/ave, J.T.-Dietrich, F. H. (1988), Kemény, S.-Deák, A. (1990) és Vincze, I. (1968) matematikai statisztikai munkáira támaszkodtunk. Először a (2) összefüggésben szereplő t(x) függvénynek az {(xj,^), (X2,y2)..., (x

n,y

n)) mérési adatpárok felhasználásán alapuló meghatározásával foglalkozunk. Feltehetjük, hogy az x független változó nem valószínűségi változó, vagyis azt, hogy a térképezés során {x,. x

2, ..., x„) értékeit gyakorlatilag hiba nélkül határoztuk meg. Az y függő változó {_Vi, y

2, ..., y„) értékei azonban mérési hibával terhelt terület-értékek, így az elméleti függvényérték helyett egy olyan valószínűségi változót észlelünk, amely jó megközelítéssel normális eloszlású, továbbá szóródása a vizsgált ]0,L] intervallumban közel egyforma. Az x és y változók közötti összefüggés linearizálható az alábbiak szerint, s így teljesülnek a legkisebb négyzetek módszerén alapuló regresszió-számítás feltételei, a t(x) függvény illesztése során ezt az eljárást alkalmazzuk. A (2) összefüggésből kiindulva osszuk végig a formulát 7r-vel, majd képezzük mindkét oldal természetes alapú logaritmusát. Ennek egyszerű átrendezésével nyeijük az ( n(33) In n K \ In— p K V x összefüggést. Legyen most 2_ K lr{-M) (34) In-L x és y'— In— , P amely transzformációval a (2) területfüggvény linearizálható az (35) y = A-x'+B formában, ahol természetesen 0 2 (36) A = — és B = ~— ln(-M) . K K Most már közvetlenül alkalmazhatjuk a legkisebb négyzetek módszerét az {(x,,_)/,), (x^), • (*»%)} adatpárokból a (34) transzformációval származtatott {(x!', yi'), (

x2 >2'), ..., (x

n.,>„.,')} adatpárokra, s az egyszerűbb jelölés kedvéért legyen N= n-1 Konkrét számításainkat az Alsó-hegy (Aggteleki-hegység) egyik töbrénél végeztük el. A mérési adatokat, azok transzformáltját, és a legkisebb négyzetek módszerénél felhasznált mennyiségeket az /. táblázat tartalmazza. E táblázat adatainak felhasználásával 1. táblázat: Az Alsó-hegy (Aggteleki-hegység) 5. sz- töbör mérési adatai k x[m] y[m

J] 1'= ln(lnL/x) yln y/Jl (xf X. y. (y')

J I 0,5 1242,75 0,996 5,980 0,992 5,956 35,760 2 1 1069,25 0,701 5,830 0,491 4,087 33,989 3 1,5 906,5 0,476 5,665 0,227 2,697 32,092 4 2 789 0,279 5,526 0,078 1,542 30,537 5 2,5 714,75 0,094 5,427 0,009 0,510 29,452 6 3 642,75 -0,087 5,321 0,008 -0,463 28,313 7 3,5 549,75 -0,272 5,165 0,074 -1,405 26,677 8 4 478,25 -0,464 5,025 0,215 -2,332 25,251 9 4,5 400,5 -0,672 4,848 0,452 -3,258 23,503 10 5 335,5 -0,903 4,671 0,815 -4,218 21,818 11 5,5 282,25 -1,171 4,498 1,371 -5,267 20,232 12 6 225,5 -1,500 4,274 2,250 -6,411 18,267 13 6,5 156,5 -1,944 3,908 3,779 -7,597 15,272 14 7 78,5 -2,674 3,218 7,150 -8,605 10,356 15 7,5 0 X: -7,141 69,356 17,911 -24,764 351,519 (37) II Öl ÍE4' = 14,269, II =1* 2_J_ N (In ')

2 = 7,930, adódik. Ha í-fzvy-fz»

1. (38) akkor a (37) felhasználásával