Hidrológiai Közlöny 1998 (78. évfolyam)

4. szám - Péntek Kálmán–Szunyogh Gábor–Veress Márton: A keveredési korrózió egyenleteinek algebrai megoldása

PÉN TEK K. - SZUNYOG1I G. - VERESS M.: A keveredési korrózió 235 U = \K

ty "Ky

2 II 2 ) + aK, es a K,y 2 (aK,\ + l 2 l 3 J (19) (20) mennyiségeket kell képezni. Mivel a négyzetgyök alatti kifejezés pozitív: (K,y) 2 íaKA (K,y) + v 2 ') l 3 J >0 (21) így a (18)-nak csak egyetlen valós megoldása van. Az u és v az egyenlet megoldása szempontjából összetartozó számpárt képeznek, mert az aK, u • v = (22) feltétel teljesül. A (18) megoldása tehát Z=U + V (23) alakban adódik. Ennek megfelelően a (19) és (20) kifejezéseket összeadva és a (16) bal oldalába helyettesítve, majd az így nyert egyenletből Ax-et kifejezve a Ax - 2 2 í

a

k0 3 + + l 2 l 3 K

ty f*y Y (aK) • + j l 3 J (24) A (24) alkalmazására példaként tekintsük két olyan oldat azonos arányú («, = n

2) keveredését, melyek mindegyike t = 10° C hőmérsékletű, és az egyik xi = 100 mg/liter, a másik x

2 = 200 mg/liter kalciumkarbonátot tart egyensúlyban, t = 10° C hőmérséklet esetében a (8) K, = 0,0496 kg

2/m

6. Ezen adatokat a (24)-be helyettesítve kiderül, hogy a keverék Ax = 11,87 mg/liter kalciumkarbonátot képes még feloldani. Az egyensúly beállta után tehát a keverék nem az eredeti 100 és 200 mg/liter átlagát képező 150 mg/liter CaC0

3-at fog oldatban tartani, hanem 161,87 mg/liternyit. A fent levezetett összefüggések abban az esetben alkalmazhatók közvetlenül, ha ismert mennyiségnek az oldatokban található CaC0

3-koncentrációi (*i és x

2) ismeretesek. Számos karsztológiai feladatban viszont a keveredő folyadékok széndioxid tartalma (vi és y

2) adott. Meg kell tehát határoznunk a (9) összefüggés inverzét, azaz ki kell fejeznünk x-et, miközben y-1 adottnak tekintjük. A (9) harmadfokú egyenlet x-re nézve: — + ax - y = 0 k (25) Alkalmazva a Cardano-Fontana képletet, (elvégezve az u és v segédmennyiségek meghatározását, valamint az egyenlet valós megoldásának egyértelműségi vizsgálatát), rendezések után az (K

ty) 2 f

a

k0 3 (K

ty) + i

2 y l 2 j l 3 j (26) -(«,x, +n

2x

2) képletet kapjuk Ax-re. Alkalmazásához természetesen figyelembe kell venni, hogy a (24)-ben szereplő y (vagyis az oldat keveredés utáni széndioxid-koncentrációja) a komponens-oldatok C0

2 koncentrációinak n, és n

2 súlyokkal vett átlaga (lásd. a (12) összefüggést). Az y

t és y

2 a (10) és (11) alapján a keveredő oldatok hőmérsékletének és kalcium-karbonát tartalmának ismeretében kiszámítható. A (24) (kiegészítve a (12)-vel) a keveredési korrózió alapegyenletét alkotja, mely közelítések nélkül alkalmas a 11 és t

2 hőmérsékletű ill. x, és x

2 töménységű oldatok «i és «

2 arányú keverése nyomán bekövetkező oldódás számítására. (A hőmérsékletet a K

ti és K

t

2 tényezőkön keresztül vehetjük figyelembe). (K,y) 2 (aK,\ (K,y) + \ 2 J l 3 J kifejezést nyeljük az oldat kalciumkarbonát tartalmára az oldott C02 koncentrációjának függvényében. 4. A legagresszívebb oldat keverési aránya A továbbiakban azt a kérdést vizsgáljuk, milyen arányban kell keverni két oldatot, hogy a keverék a lehető legtöbb mészkövet legyen képes feloldani. Azaz keressük a keveredő oldatok azon n 1 és n2 keverési arányát, amely esetén Ax maximális lesz. Az egyszerűbb írásmód kedvéért vezessük be az n

} n és n

2 = 1-/7 jelölést (kihasználva, hogy w

t + n

2 = 1). Az y helyébe íijuk a (12) jobb oldalát, s ekkor a (24) a Ax = J^-[w+(l- n)y

2\ + + (l - n)y

2f + (aK, (27) alakot ölti. Ahhoz, hogy zlx-nek egy bizonyos n = n

m érték mellett maximuma legyen az szükséges, hogy Ax n-szerinti első deriváltja n = n

m esetén nullával legyen egyenlő. Ilyen hely pedig biztosan akad a 0 < n < 1 intervallumban, hiszen Ax ezen szakasz minden belső pontjában po-