Hidrológiai Közlöny 1997 (77. évfolyam)
5. szám - Zsuffa István (jun.)–Bogárdi János (jun.): Nem-permanens, kvázi-kétdimenziós, numerikus modell hullámtéri fokrendszerek hidrodinamikai szimulációjához
272 HIDROLÓGIAI KÖZLÖNY 1997. 77. ÉVF. 5. SZ,. 1.) Egy rendszercellában tárolt víz térfogata csak a vízállásnak és a cella domborzati viszonyainak függvénye (Cunge, 1975); 2.) Egy kapcsolat vízhozama csak a kapcsolat morfológiájától és a két összekötött cella vízállásától függ {Cunge, 1975); 3.) A folyó és a fokrendszer közötti vízforgalom olyan csekély a folyó teljes vízhozamához képest, hogy a vízforgalomnak a fokrendszerben történő módosítások okozta változása nem befolyásolja a folyó vízállásait. A modell alapegyenlet-rendszere a rendszercellákra felírt folytonossági egyenletekből áll: dV, ni. dl f-=TQij+Qsj+(P-E)-Aj ,j = l,...nsc (1) dVj = dZj • Aj -t behelyettesítve: á •j ÍQj+Qj +P-E=fj[z,zb,^,P,E,t) , j=\...mc (2) d A ahol: Vj: ay-edik rendszercellában tárolt víz térfogata (m 3); nsc : a rendszercellák száma (-); t: idő (s); nlj : ay-edik rendszercella kapcsolatainak a száma (Q,j : a y-edik rendszercella i-edik kapcsolatán keresztül a cellába folyó víz hozama (m 3/s); Qsj : ay'-edik rendszercellába a talajvízből beszivárgó víz hozama (m 3/s); Aj : a y-edik rendszercellában a vízfelszín területe (m 2); P, E : csapadék és párolgás intenzitások a fokrendszer területén (m/s); Z (zi,z 2 z„ sJ : a rendszercellák vízállásai (mBf); zb (zb],zb2,....z n bJ : a peremcellák vízállásai (mBf) (nbc: a peremcellák száma); zg : talajvízszintek a rendszercellák alatt (mBf). Mivel P és E a / ismert függvényei (peremfeltételek), az egyenletrendszer visszavezethető elsőrendű közönséges differenciálegyenletek rendszerére: dz: -± = fj{t,z) , j = l,...nsc (3) dl A modell a keresett rendszercella vízállásokat a fenti differenciálegyenlet rendszer adaptív lépésközű, ötödrendű Runge-Kutta módszerrel (Press et al, 1992) történő numerikus integrálásával számolja. Az integrálás az alábbi numerikus séma segítségével lép f időpontról t" +'=f+At időpontra: z"j + 1 ~ zj + cl ' kl + c2 • k2 + c3 ' kí + c4 ' kí + í s\ (4 ) K + o> + c 5 • ki + c 6 ahol: k{ =At.fj(t",z") ki = At-f j(t n+a 2-At,z" + b 2 Vk l) (6.) kí = At • fj[t" + a 6 • At,z" + b 6 l • k l + +b 6 5 • k 5) (5) A k v..k 6 függvény vektorok egy másik kombinációja egy negyedrendű Runge-Kutta sémát eredményez: z*" + 1 = z" +c* -k( + c\ -k{ -t-e, -k{ +cl -k{ + + c* 5-k J 5+cl-kÍ+Oj(At 5) , j=l..nsc A O/Al 6) és O/At*) hiba tagok a At hatodik illetve ötödik hatványú tagjaival kezdődő hatványsorok. Az a, c, c' paraméter vektorok illetve a b paraméter mátrix értékeit az I. táblázat adja meg. I. táblázat. Az adaptív lépésközű Runge-Kutta módszer alapegyeni Ol but Ci Cl 1 37 2825 1 378 27648 2 1 5 1 5 0 0 3 3 9 250 18575 J 10 40 40 621 48384 3 3 9 6 125 13525 4 5 10 10 5 594 55296 1 11 5 70 35 277 5 1 54 2 27 27 0 14336 7 1631 175 575 44275 253 512 1 6 8 55296 512 13824 110592 4096 1771 4 *= 1 2 3 4 5 Az ötöd- és a negyedrendű Runge-Kutta közelítések különbsége megbízható becslést nyújt a numerikus integráció Al időlépés alatt elkövetett hibáiról (Press et al, 1992): 6 h H+l •fl+1 = Z( C-C*W . y = \,...nsc (7) Nyilvánvaló, hogy a differenciál-egyenletrendszer numerikus integrálása során a At időlépcső alatt elkövetett mértékadó hiba becslése a legnagyobb becsült hibának felel meg: nsc max(^) (8) A (7) egyenletből viszont az is következik, hogy <j>j a O/At 6) és O/Al 5) hibatagok különbségével is egyenlő. Mivel a két hatványsor At 6 és annál magasabb fokú tagjai azonos nagyságrendűeknek tekinthetők, a <j>j hibák gyakorlatilag egyenesen arányosak At'-c 1. Ez viszont azt jelenti, hogy ha egy At, időlépcső <I>i hibát eredményez, akkor a <t> 0 hibát eredményező At 0 időlépcsőt az alábbi összefüggésből lehet becsülni (Press et al, 1992): . 0.2 $0 At 0 = A/, O, (9) A (9) összefüggést, melyben <t> 0 az integráció megkívánt pontossága, a modell kétféleképpen használja föl:
