Hidrológiai Közlöny 1997 (77. évfolyam)
1-2. szám - 3-4. szám - 4. szám - Szél Sándor: Háromkarakterisztikás numerikus módszer morfológiai folyamatok számítására
210 HIDROLÓGIAI KÖZLÖNY 1997. 77. ÉVF. 4. SZÁM ahol: ÜIL'T'I - a fenékntozgás diffúziós egyenletének diffúziós együtthatója (ü>0), f r [LT 'l - additív függvény (nemprizmalikus forrás(ag). Az egydimenziós morfológiai modellrendszer lineáris analízise A modellrendszer lineáris analízisét a vonatkozó szakirodalom (Poncé, Simons, 1977) alapján végeztük mozdulatlannak feltételezett mederfenék esetére, továbbá a medermozgás figyelembevételével (Szél, Bognár, 1994). A részletek ismertetése nélkül néhány jellegzetességet megemlítünk a következőkben, de előbb ismertetjük a mozdulatlan mederfenék esetére levezetett eredményeinket. Induljunk ki a Saint - Venant-féle differenciálegyenlet rendszer következő, nem konzervatív matematikai alakjából (prizmatikus, hossz mentén homogén, végtelen széles csatorna egységnyi szélességű sávjára): 1 ,du y u du + g dt g dx du dt dx dh dx M + h^ • u ^ dx (S, • S Q) = 0, (24) = 0. (25) ahol: S 0 [-] - a csatorna fenékesésc, (S 0=sin(a) ~ lan(a)~ - dz/dx). A súrlódási disszipáció meghatározására a Che'zy-féle összefüggést alkalmazzuk. Kiindulási feltétel az állandósult permanens egyenletes állapot, atnikoris az folyadékmozgás áramlási állapotliatározóira érvényes, hogy: h=h 0. A kiindulási állapotliatározókat perturbáljuk « = u 0+[i, h=h 0+( (ahol p és £ jelöli az u 0és /i 0-ra vonatkoztatott "kis megzavarást" vagy perturbációt). Alkalmazzuk a (24) és (25) differenciálegyenlet renszert az u, It változókra, miután kapjuk a következő lineáris differenciálegyenlet rendszert, a magasabb rendben kicsiny menynyiségek ellianyagolásával (Poncé, Simons, 1977): A 1!; + • + M-^-j- )=0, (26) 1 g dt g dx dx Uq \ ^ + u PÁ dt * dx 0 dx =0. (27) A (26) egyenletben bevezetett: p,, p 2, p 3 és p 4 szorzótényezőkértéke zérus vagy egységnyi annak függvényében, hogy mely hullám modellt kívánjuk vizsgálni. A (26) és (27) differenciálegyenletek lineáris rendszert alkotnak, így a zérus időpillanatban történő "kis megzavarás" (n és £ perturbáció) időbeli és térbeli terjedésének valamint csillaposásának számítására a következő alapmegoldások lesznek érvényesek: H = ug ö e' 1" 1 - " (28) C = Vx e' (0 £ " ( 2 9> ahol: ji, ( - dimenziómentes, sebesség- és mélység amplitúdó függvény, t] - dimenziómenfes tér- és idökoordinálák. o - dimenzlómentes hullámszám, P - dimenziómentes komplex csillapodási együttható, [! „ - dlmenzióinentes periódusidő (|)-p s + ip (), P, - dimenziómentes amplitúdó csillapodási együttható, 0 - dimenziómentes sebesség aiulltudó függvény, X - dimenziómén les vízmélység amlitudó függvény. A fenti mennyiségek a következőmódon határozhatók meg: 2tx P* = 2n A) í V n = tT b A> aliol: I. K - hullámhossz, T k- periódusidő, L„ - az a horizontális bosszúság, amelyen az időben állandó, térben homogén áramlás folyadékfelszine S, mederfenék esés mellett h 0-l esik, azaz: L 0-hJS^ A perturbáció dimenziómentes terjedési sebességét (4>, az alapáramlási sebességre vonatkoztatott hullámterjedési sebességet) és az amplitúdó csillapítási tényezőjét (ő) a következő összefüggések definiálják <0= = h, T b q, ° 6 = §i' Th'-j- = 2 k '7r ' Helyettesítsük a (28) és (29) alapmegoldásokat a (26), (27) egyenletrendszerbe. A kijelölt műveletek elvégzése után a következő egyenletrendszer adódik a dimenziómentes amplitúdó függvényekre: ^(2p^p 1Fr 0 1ai-p,Fr 0 1^i) + X(p )oi-p,) = 0, (30) ü(o/) X(o/-p/) =0.(31) ahol: Fr t - a kiindulási állapotra Jellező Froude-szám, amelyet a következő összefüggés definiál: gK Fr 0 2 = ^r- (32) A (30), (31) egyenletrendszernek triviálistól eltérő megoldása nyerhető, ha az egyenletrendszer együtthatóiból képezhető együtthatómátrix determinánsa zérus. Előbbi feltétel P-ra nézve a következő másodrendű egyenletre vezet: P 2 + P h^ + w 0 = 0. (33) ahol: w„ w„ - komplex együtthatók, i - az imaginárius egység (definíciója: i 2 = -1). w, = - o 11 + h Pl + r ( 2A 2 Pl w 0 = a 2 1 Pi Pl FtfPi - /• \ F roPi , l 3 o a ^ l^o 2Px, (34) (35)
