Hidrológiai Közlöny 1996 (76. évfolyam)
1. szám - Gáspár Csaba–Szél Sándor: Hirtelen szelvénybővületnél kialakuló turbulens áramlások szimulálása perem-integrálegyenlet módszerrel
GÁSPÁR CS. - SZÉL S.: Turbulens áramlások szimulálása... 7 a(x)V,(i)+(K V,)(x)-(R%(x) = ai N (20) = -í>* Jogi——j (19) /fc=l A modellben a perem mentén y/ teljes egészében ismertnek tételezhető fel, ui. peremfeltételként adott. így a (19) perem-integrálegyenletben az egyedüli ismeretlen függvény a dy/ldn normális irányú derivált. A (19) egyenlet valamilyen standard módszerrel diszkretizálható: mi kollokációs módszert alkalmaztunk, azaz a peremet elég sűrű pontsorozattal diszkretizálva, a peremfiiggvényeket szakaszonként konstans alakban közelítettük, és a (19) egyenlőséget megköveteltük minden egyes peremszakasz középpontjában. E pontokban természetesen a belső a törésszög mindenütt n. A módszerről részletesebben ld. Gáspár (1982). Itt csak annyit jegyzünk meg, hogy a diszkretizálás után (19) egy algebrai lineáris egyenletté válik, melyben az ismeretlenek száma megegyezik a peremen felvett csomópontok számával. Ezt az egyenletet célszerű valamilyen direkt módszerrel megoldani, bár jelen esetben esetleg található valamilyen hatékonyabb megoldás is, lévén a mátrix kivételesen szimmetrikus (ez a peremfeltételnek köszönhető: általában, ún. kevert peremfeltétel esetén a diszkrét egyenletrendszer mátrixa nem szimmetrikus). Nem törekedvén a numerikusan leghatékonyabb módszer kiválasztására, az egyenletrendszer mátrixát egyszerűen invertáltuk, mivel minden egyes időszinten ugyanilyen mátrixú peremintegrálegyenletet kell megoldani. Ily módon elég volt a mátrixinvertálást egyszer elvégezni, és a megoldás minden egyes időszinten az inverz mátrixszal való szorzásra egyszerűsödik. Miután (19)-et már megoldottuk, a <// áramfuggvény a tartomány belsejében elvileg a (15) Green-formula direkt alkalmazásával ill. kiértékelésével nyerhető. Azonban valójában nem is y/ értékeire van szükség, hanem i// deriváltjaira, azaz a felújított u, v sebességkomponensekre - ezekre is csak az örvényrészecskék X| ,\ 2,...,\n pozícióiban -, melyeket a (4) formulából kapunk. Mivel co véges sok pontforrás szuperpozíciója, a deriválás analitikusan elvégezhető: 1 r Ő (x / - y) • n. 2*J*« | x -í — log H 1 • YiyWy őy (yyr. N -y< co k •| x j ahol Xj-(Xj X\xj 2 )) a y-edik örvényrészecske pozíciója (/'=1,2,...,A0. (Megjegyezzük, hogy (20) jobboldalain az összegzésből a k=j indexet értelemszerűen ki kell hagyni.) Figyelembevéve r diszkretizálását, és a i//, di//ldn függvények diszkrét (szakaszonként konstans) alakját, a formulák jobboldalain szereplő peremintegrálok véges összegekké bomlanak, melyek minden tagja analitikusan, minden különösebb nehézség nélkül kiszámítható: ennek részletezését itt mindazonáltal mellőzzük. A (20) formulák jobboldalain minden egyes j index mellett egy-egy (N-I) tagú összeget kell kiszámítani. Ez összesen kb. N 2-tel arányos műveletszámot jelent minden egyes időlépésben. Ha N nagy (ezres vagy még magasabb nagyságrendű), ez nagy problémát jelent, mert nagyon lelassítja a számítást. Ekkor a közvetlen számítás helyett érdemes valamilyen gyors kiértékelő algoritmust választani. Ilyen az ún. multipólus módszer, mellyel az ilyen típusú összegek mindössze MogjV-nel arányos műveletszámmal értékelhetők ki. Részletesebben ld. pl. van Dommelen és Rundensteiner (1989), akik e módszert némileg hasonló problémára, hengerről leváló örvények ill. az általuk keltett áramlás számítására használták (de oldalfalak hatásának figyelembevétele nélkül). Esetünkben az örvényrészecskék száma (AO nem haladta meg a százas nagyságrendet, úgyhogy elegendő volt a direkt kiértékelésen alapuló számítás. Az oldalfalak hatásának modellezése 0X1/ 1 r d (x.-y)-n, •hl H 1 -hl 2*^(2) log r -yf(yxr, . y I Ch In*-' ,(2) _ „(2) l, XI, *=i A fal mentén ható súrlódás miatt a fal környezetében erős sebességnyírás lép fel: ez a fal mentén egy örvényréteget alakít ki. Az előző fejezetben megjegyeztük, hogy az egyszerű rcteg potenciál fizikai jelentése úgyszintén egy, a peremre koncentrálódó örvényréteg keltette áramlás áramfiiggvénye. Ez az észrevétel adta az ötletet, hogy az oldalfal fékező hatását egy extra egyszerű réteg potenciál segítségével írjuk le. Pontosabban, az áramlás y/ áramfüggvényét keressük (21)
