Hidrológiai Közlöny 1996 (76. évfolyam)
6. szám - Gilyénné Hofer Alice: Nagy tavak együttműködő tározó-rendszerének szimulációs modellezése
326 HIDROLÓGIAI KÖZLÖNY 1996. 76. É VI" . 3. SZ.. = max(min + X,), K] - q), 0),K>q (16) Ez a Moran-féle ún. minimax-összclúggés, ahol S a, Z,i.\ ő a,X, valószínűségi változók, K, és q konstansok. Keressük a At időszak végi (őszi) tározó-állapotok valószínűség-eloszlását: F(x) = <x) = 7 (17) Ha A'-t felvesszük, q ismert, cs a tározóba érkező vízmennyiségek és azok eloszlása ismert: G(x) = P(X,<X) (18) A feladat megoldásához kiszámítjuk a P i-P& f a-jl5i.i d"«i) (19) egylépéses átmenet-valószínűségeket, majd azok határeloszlását. Végeredményben megkapjuk a különböző felvett tározó-térfogatok (k), vízfogyasztások (q) és vízszolgáltatási valószínűségek (p) összefüggését, azaz a többéves kiegyenlítésű tározó teljcsítőképességi görbeseregét, ahol a vízszolgáltatás biztonsága (p) a kiürítés határvalószínűségéből (P 0) számítható: p = l-Po. Kiszámíthatjuk továbbá a kiszolgáltatható vízmennyiségek eloszlásfüggvényeit is. 1.2.2.5. Optimálási módszerek Ha a tározó-méretezéssel kapcsolatban optimális eljárásokat akarunk alkalmazni, ehhez az optimális tervezés szakterületéhez kell folyamodnunk. Mivel e szakterület interdiszciplináris, szakirodalma különböző tudományterületeken, de elsősorban a közgazdaságtudomány területén található meg. Ennek következtében magának az optimális tervezésnek is számos meghatározása létezik (Müller-Merbach 1963 és 1971, Reuss,Riese 1960). Müller-Merbach a következő meghatározást ajánlja: Az optimális tervezés - matematikai módszerek alkalmazása optimális döntések előkészítésére. "Optimális döntés"-en itt nem minden lehetséges döntés legjobbikát értjük - ha ilyen egyáltalán létezik - hanem valamilyen optimálási cél szempontjából legjobb döntést. Ez azt jelenti, hogy a különböző optimálási célokhoz különböző optimális döntések tartoznak. A köznapi beszédben kissé határozatlan "optimum" kifejezést e szakterület megszorításokkal használja: az optimum csakis maximumot vagy minimumot jelenthet. Az optimális tervezés célja tehát olyan döntések hozatala, amelyek a tervezési célt kifejező matematikai függvényt vagy maximálják, vagy pedig minimálják. Ez csak akkor lehetséges, ha a tervezési cél valamilyen matematikai függvény, az ún. célfüggvény alakjában adható" meg. Az optimális tervezés első feladata tehát a célfüggvény matematikai megfogalmazása. Ez azonban általában önmagában még nem alkalmas a probléma identifikálására, a célfüggvényhez ezért "korlátozásokat" (peremfeltételeket) kell kapcsolnunk. A peremfeltételeket, a célfüggvényhez hasonlóan, matematikailag kell megfogalmazni. A célfüggvény és a peremfeltételek mellett van még egy fogalom, amely gyakran ugyancsak szerepet játszik az optimum-számításban, az ún. állapottranszformáció (v. folytonossági egyenlet), amely azt adja meg, hogy a döntés meghozatala milyen változást okoz a rendszerben. A tározó-számítás szempontjából az optimális tervezés két legjelentősebb módszere a lineáris és a dinamikus programozás. Minthogy számos tározó-feladatra az analitikus optimálási eljárások - vagy azok elégtelen rugalmassága, vagy túl nagy matematikai munkaigénye miatt - nem alkalmazhatók, ezek számára a szimulációs eljárásoknak van nagy jelentősége. 1.2.2.5.1. Analitikus optimálási eljárások (rendszertechnikai módszerek) Analitikus optimálási eljáráson olyan eljárást értünk (,Schultz, 1974), amely a célfüggvény, a peremfeltételek és - szükség esetén - az állapot-transzformáció matematikai megfogalmazásán alapul és amelyhez direkt megoldási algoritmus, vagy az egyértelmű megoldáshoz használható egyéb eljárás létezik. Lineáris programozás A lineáris célfüggvény általános alakja: n Z = £oX, (20) i=J ahol c, értékek állandó együtthatók, az x,-k pedig ún. döntési változók. A feladat a célfüggvény maximálása, vagy minimálása. A lineáris programozásban a peremfeltételeket is lineáris egyenletek alakjában kell megadni. Ezek általában a következő alakúak: n Yjdid'Xi — bk, ahol k = 1,2,... m (21) i=i tehát összesen m egyenlőtlenséget tartalmaz, amelyek mindegyikében (legfeljebb) n ismeretlen x t szerepel. A b k értékek a b oszlopvektor összetevői, az a k i értékek az A együttható mátrixot alkotják. A £ jel helyett S, vagy akár = is szerepelhet a (21) típusú peremfeltételekben. Ezen kívül bizonyos előjelfeltételcket is kell teljesíteni (pl. az érkező vízhozamok, a tározó-térfogatok csak pozitív értékűek lehetnek): X i > 0, ahol i —1,2,..., n (22) A lineáris optimálási feladat most már abból áll, hogy meg kell keresni a (20) szerinti Z célfüggvény optimális értékét a (21) és (22) szerinti peremfeltételek betartásával. A célfüggvény optimális értékének meghatározása az ún. szimplex-algoritmussal történik. Ennek alkalmazásához először is a (21) egyenlőtlenség-rendszert lineáris egyenletrendszerré kell átalakítani. Ehhez, további ismeretlenként bevezetjük az *„+* "rejtett változót", amellycl a (21) rendszer ilyenné alakul át: n akt' xi + Xn+k — bk' @3) ahol k = 1,2, ... m, a következő előjel-feltétellel:
