Hidrológiai Közlöny 1996 (76. évfolyam)
5. szám - Bakucz Péter: A hidrodinamikai fraktál diszperzió
BAKUCZ P.: A hidrodinamikai fraktál diszperaá 295 logaritmusát ábrázolva n függvényében a kapott egyenes meredeksége megadja a szökési rátát (J. ábra). Az így kapott értékek nem függhetnek a részecskék kezdő négyzetének megválasztásától. A rendszerben felfedezhetők olyan invariáns helyek amelyekből a részecskéket indítva sohasem hagyják el a rendszert. Az ábrából leolvashalóan a szökési ráta értéke 0.039 volt. xnxgiiiawn so; 4. ábra. Szökési ráta. A vízszintes tengelyen a lépések száma, a függőleges tengelyen a rendszerben maradó részecskék számának logaritmusa van. A Ljapunov exponens méri az egymáshoz kezdetben igen közel levő részecskék közötti távolság átlagos csökkenésének mértékét. Viszont ez a definíció nem alkalmazható közvetlenül a Ljapunov exponens mérésére, hanem csak közelítésekkel az átlagos Ljapunov exponens meghatározására úgy, hogy az összes lehetséges számú kezdőpontpár helyett csupán elég sokat vizsgálunk meg (4. ábra). A lokális Ljapunov exponens értéke a 2. és az 5. pontok közötti egyenes meredeksége, amely 0.63 értéket jelent. 5. ábra Őssszejüggés a Ljapunov exponens meghatározásához. A vízszintes tengelyen a lépésszám, a jUggőlegesen a két részecske távolságának logaritmusa van feltüntetve. ahol N n a 2. ábrán az n-edik szinten található szakaszok száma li pedig ezek közül az i-edik. Képezzük ennek és a n+1 -edik szintnek a hányadosát: DF(fl) := In (E,l, (n)f l /Z,l, (n+1> 0) Numerikus kísérletben a lineáris esetben az alapvonal adott két pontja között elindítva részecskéket meghatározható volt a trajektória-hosszuk. Megmérve a szakaszhosszakat a OF(fi) függvény ismertté vált (5. ábra). A szabad energia függvényről leolvasható a szökési ráta, ez nem más, mint a fl = 1 helyen felvett értéke, amely 0.02, azaz jól közelíti a numerikus kísérlet során kapott értéket. * A s y / 6. ábra. A szabad energia függvénye. A vlzszinteds tengelyen a P, a függőlegesen a pF(fi) kifejezés található. 4. Fraktál adatszerkezet kódolás a hidrodinamikai diszperzió meghatározására. A számítástechnikában ismertek a térbeli objektumok lineáris négyfa-struktúrájú tárolásának fraktál elvű kódolási lehetőségei. Amennyiben ezen kódolás fizikai alapokon nyugszik, nevezetesen, hogy statisztikai értelemben vett fraktál-dimenziója megegyezik az eltárolandó mintázat fraktál-dimenziójával, ekkor a fizikai folyamathoz legjobban illeszkedő adatkódolását valósítható meg. 5 ÍV m oooc 0 0 0 oooc 0 0 0 oooc SÍ* II 3[o i m 0 h ío* A szökési ráta meghatározásághoz röviden bemutatjuk a termodinamikai formalizmus alkalmazását. Tekintsük a részecske becsapódások Cantor-halmazra emlékeztető hierarchikus struktúráját. Erre az ábrára úgy lehet tekinteni, mint egy leképezésre, amely az alsóbb szakaszok közül néhányat a felsőbb szintre képez. A termodinamikai formalizmus alkalmazásához először a BF(B) szabad energiának megfelelő mennyiséget kell felírni: e-0F(fl)n . _ £ ^(„y) 7. ábra Fraktál adatbejárá'. Annak érdekében, hogy a térbeli adatokat négyfastruktúrában tárolják, a térinformatikai rendszerekben általában egy hierarchikus adatszerkezetet valósítanak meg. A 7 .ábrán mutatjuk be a szint-folytonos firaktál-elvű tárolásának lényegét.
