Hidrológiai Közlöny 1996 (76. évfolyam)

5. szám - Bakucz Péter: A hidrodinamikai fraktál diszperzió

294 HIDROLÓGIAI KÖZLÖNY 1996. 76. É

VI"

. 3

. SZ

.. Az átmeneti idők eloszlásfüggvénye a Q(CT-CT

0, t) és a kilépési pontok eloszlásfüggvénye P(ct-ct

0, t), a következőképpen értelmezhető: i P(cr-cr

0,l)=\P(or-aj,t-x)Q((Jj-cjo,Z)dx o (CT jelképezi az x, y, z koordinátákat) Q(CT-CT

0, t)dt annak a valószínűsége, hogy a részecske t = 0 időpontban CT

0 helyzetből indulva a t + dt időpontban a CT helyzetben lesz. P(CT-CT

0, t)ds annak a valószínűsége, hogy a részecske a CT

0 helyről t = 0 időpillanatban indulva a t időpillanatban a cr, CT + dcr pozícióban lesz. A fiktív jelzőanyag részecske t = 0 -nál (xo, y

0, Zo) helyzetből indulva, v középsebességgel haladva t időpillanatban a (xo+vt, y

0, Zo) helyzetbe "advektálódik". Mivel a részecske eme átlagérték körül ingadozik, definíció szerint a tényleges értékének és a makroszkópikusan számított értéknek eltérése: S\ = (x-(x<fh*))

1, S\ = (y-(yo))

2, S\ = (z-(zo))

2 Ezekből kiindulva a diszperziós tényezőt a hálózat modellen az alábbiak szerint lehet definiálni: D,= <S<r

Z/2t> A diszperziós tényező két értelmezése, aszerint, hogy az átvonulási idők, avagy a kilépési pontok eloszlását tekintjük D, = P(CT-CT

0,t)(S

2CT/2t)dCT vagy, D, = Q(CT-CT

0,t)(S

2a/2t)dt 3.1. A diszperziós rendszer egyes geometriai és dinamikai jellemzői 2. ábra A diszperziós szimuláció lineáris esete A diszperzióra az előző fejezetben megfogalmazott' modell magában foglalja a részecske mozgásában rejlő véletlenszerűséget, a porózus hálózatot szimuláló hálózat modell felvétele által. A részecske mozgása az egyszerű szabályok mellett is igen bonyolult. A bonyolult viselkedés magyarázatául szolgálhat egyrészt az invariáns halmaz, másrészt a trajektória hosszak megszerkesztése. A rendszer viselkedésének megértéséhez vezető út első lépése az, hogy az egyes pontokból (centrális és lineáris rendszer esetén) indított, az előzőleg meghatározott sebességmezőn mozgást végző részecske a rendszerben hány lépésig marad bent. A 2. ábrán mutatjuk be az egyes állapotokat centrális a 3. ábrán lineáris esetre vonatkoztatva 10

3 részecske nyomon követése után. A hisztogrammos ábrán szembetűnő a Cantor-halmaz szerkesztéséhez hasonló hierarchikus struktúra: a hosszabb trajektóriákhoz tartozó pontok által alkotott szakaszok egyre többen vannak, s egyre rövidebbek, várható, hogy a felbontás növekedésével az egyre hosszabb trajektóriák végül egy fraktált fognak kirajzolni. Megfigyelhető, hogy a diszperziós rendszerre nem jellemző periódusonként hogyan szakadnak fel a legalább i hosszúságú trajektóriák által alkotott szakaszok i + 1 hosszúságiakká. A diszperziós rendszer geometriai és dinamikai jellemzőit és a köztük levő kapcsolatot a termodinamikai formalizmus segítségével lehet belátni. A következő jellemzőkkel foglalkozunk: 1. Szökési ráta 2. Ljapunov exponens (trajektóriák távolodása) 3. Szabad energia függvény 1 I li 1 L 1 1 1 1 1 1 Jll „ ILL Jk, 3.ábra. A diszperziós szimuláció centrális esete. Egyéb, igen fontos jellemzők, mint az általánosított dimenziók, információs dimenziók, általánosított entrópiák és topológikus entrópiák meghatározása ugyan elengedhetetlenül szükséges, és elhagyásuk az általános kép kialakításában zavaró lehet, de a dolgozat keretei nem teszik lehetővé részletes bemutatásukat, és úgy ítéltük meg hogy az adott modellre épülő diszperzió számítás nélkülözheti leírásukat. A szökési ráta alatt N(0) számú, a rendszerbe vezetett részecske számának exponenciális csökkenését jellemző kitevő: N(n) = N(0)e "

k ahol k a szökési ráta. A numerikus modellezés során az előzőleg generált hálózatban meghatároztuk a sebességértékeket, majd a fizikai állapottér bizonyos összefüggő területeiről 1000 részecskét indítottunk el, s rögzítettük, hogy n lépés után hány részecske volt még a rendszerben. Ezek számának