Hidrológiai Közlöny 1996 (76. évfolyam)

5. szám - Bakucz Péter: A hidrodinamikai fraktál diszperzió

BAKUCZ P.: A hidrodinamikai frak

tAI diszperzió 293 E(S|) = - 1/n In ej mennyiség. Az E exponens megmondja, milyen gyorsan csökkennek n-nel a dobozméretek. A fraktál lefedésében n növekedésével egyre több egyforma doboz fordul elő, melyeket ugyanaz az E érték jellemez. Számuk W(n,E) exponenciálisan nő: W(n,E) a e

s<F

)° Az S(E) spektrum a távolságskálák eloszlását jellemzi. A fraktál egy másik jellemzőjét kapjuk, ha a dobozméretek valamely B hatványaiból képzett összeget tekintjük. Az összeg is exponenciálisan skálázik n-nel: Z ef-ZM*)*'™* i ahol -oo < B < oo és az összegzés minden megengedett n hosszúságú kódra vehető. A fraktál-dimenzió definíciója szerint az a D szám, ami megmondja hogy az s

d oldalélű kockákból álló rácson hogyan divergál az alakzatot lefedő kockák N(e

d) száma e

d finomításakor: N(e) a e„ D Mivel a kódok alapján általában különböző méretű dobozokkal történő lefedésekhez jutunk, nem nyilvánvaló, hogyan függ össze D a most bevezetett mennyiségekkel. Jelentős az a tény, hogy F(B

T) éppen a B

T= D értéknél tűnik el: BtF(Bt) I BT=Do = 0 Az előzőek ismeretében elvi szintén egzakt módon bizonyítható be az a hasonlóság, amely szerint ez a formalizmus és a statisztikus fizika értelmezésének egyes alapvető összefüggései között fennáll, azaz: W(n) az összes mikroállapot száma. W(n,E) az E belső energiához tartozó állapotszám. S(E) az entrópia. fi

T az inverz hőmérséklet. F(p

T) a szabad energia. 3. Az alkalmazott modell A felszín alatti vizek modellezése esetén az előző pontban a termodinamikai formalizmus leírásakor kifejtett elvek változatlanul érvényesek, a különbség azonban az, hogy a részecske pályák tipikusan önhasonló szemszerkezetű talajszerkezeten való áthaladáskor válnak kaotikussá, hiszen a rendszer dinamikáját jellemezni képes Reynolds szám nem esik azon tartományba, ahol a kaotikussággal kellene számolni. A modell felállításának súlyponti kérdése a rendszer fizikai állapotterének a pórushálózatnak felvétele. A pórus hálózat felvétele után a sebességtér meghatározható, s az egyes részecskék áramlásbeli vizsgálatával a kaotikus dinamika láthatóvá válhat. A porózus közeg modellezésére a leggyakrabban alkalmazott rendszer a hálózat modell volt. Hálózat modellek esetén a legtöbb szerző elméleti diszperziós vizsgálatokat egység oldalú négyzetes és köbös rácson végzi, ahol az ágak és a csomópontok azon valós pórus kapilláris cső hatását helyettesítik, amelyben a folyadék virtuálisan áramlik és tározódik. Sahimi et al., (1983) az r csőátmérőket véletlenszerűen, rekurzív algoritmus felhasználásával választotta ki a 2.s

2.r.exp(-sV) eloszlásból, amely elméleti levezetések után, a gyakorlati oldalról azonban megkérdőjelezhető módon a porózus közeg tényleges póruseloszlásának vett s, kísérletekből meghatározható, az adott talajszerkezetre illeszkedő, ún. Sahimi-féle állandó. A hálózat geometriájának felvételekor Kovács Gy. (1984) kimutatta, hogy az áttörési görbe meghatározása érdekében azért nem szükséges térbeli modell alkalmazása, mert a koncentráció időbeli alakulását csak a hálózat csomópontjain az áramlás főirányában, illetőleg arra merőlegesen megtett lépések aránya befolyásolja, függetlenül attól, hogy az utóbbiak a keresztmetszet síkjában milyen irányban történtek. Kovács megállapítása szerint csak az átlós négyzetháló alkalmas időben változó folyamat szimulálására, mert a rombuszháló nem juttatja kifejezésre azt az időkülönbséget, amely a jelzőanyag egyenes vonalú teijedése és a legnagyobb oldalirányú, kitérő hosszabb útjának megtétele között jelentkezik. De Arcangelis et al. hálózatában (1986) kimutatta az elektromos ellenállás hálózatokkal való analógiát, s az ott alkalmazott standard Kirchhof törvényre vezetette vissza eljárását. Modelljében minden két csomópont közötti áramcsőre a vízhozam (qj értéke arányosan változott: a két csomópont közötti nyomáskülönbség osztva a hidraulikus ellenállás értékével (amely a cső két végpontjában értelmezett különbség). Az áramlás határfeltételei: adott pi nyomás a belépő felületen az x = 0 helyen és adott pi a kilépő felületen az x = L helyen, a közbenső csomópontokban pedig y = const. esetén megegyezik a nyomásérték. A nyomáskülönbség x-irányban volt értelmezve. Az áramcső vízhozamából az indító és a végső csomópontra vonatkoztatva a k tényezők mégha tár ozhatókká váltak. Koncsos (1987) a hálózat-modellhez hasonló szabálytalan háromszög-hálózatot alkalmazott, s ezen Monte-Carlo szimulációt használt a sebesség-eloszlásra, s minden egyes számítógép által generált realizációból a hálózatra vonatkoztatva kiszámította a sebesség értékeket. A hálózat-szakasz hidraulikus gradiensére nem tudott statisztikai jellemzést adni, ezért a sebességhidraulikus gradiens együttes sűrűségfüggvényét hozta létre. A fiktív részecskéket x = O-nál véletlenszerűen a t = 0 időpontban injektálta be és rögzítette a részecske első megérkezését x = L-nél, valamint a transzverzális eltérés mértékét is. Jelen dolgozatban a hálózatmodellben mozgó részecske két szabály szerint halad: 1. Az áramcső mentén sebessége a hálózaton értelmezett standard Kirchhof törvények értelmezésével kiszámítható érték, vektor reprezentációban irányítása a minden csomópontban a meghatározott kisebb nyomás felé mutat; 2. Égy csomóponthoz való érkezéskor, rögtön beinjektálódik a kiágazások valamelyikébe, ahol a vízhozam valószínűsége nagyobb, (a vízhozam valószínűsége qi/Xqj, ahol j az összes csomóponton való átlagolást jelzi. A diszperziós tényező meghatározására kidolgozott statisztikai modellek esetén, vagy az átvonulási idők eloszlásfüggvényét, vagy a kilépési pontok eloszlásfüggvényét vizsgáljuk.