Hidrológiai Közlöny 1996 (76. évfolyam)
5. szám - Bakucz Péter: A hidrodinamikai fraktál diszperzió
BAKUCZ P.: A hidrodinamikai (raktál diszggrzió 291 A Laplace-egyenlet az alábbi határfeltételekkel íija le a növekedési felület mozgását: v„ = -k..Wcn 3 — Cr --doK - (5 v* ahol k = szivárgási sebesség, u = koncentráció, d 0 = az ún. kapilláris hossz (a felületi feszültség kifejezése), K = a felület lokális görbülete, B = az ún. kinetikus együttható (a szemcsés halmaz eloszlására jellemző paraméter), p = kísérletileg meghatározható állandó. A növekedési folyamatok egyik fontos típusa amikor hasonló részecskék (monomerek) irreverzibilisen egyesülnek egy növekvő klaszterrel. A gyakorlatban a monomerek pályája véletlen bolyongással jellemezhető (Vicsek 1990). A növekedő fraktál-alakzatok számítógépes realizációjának egyik legismertebb algoritmusa, a DLA (diffúzió limitált aggregáció) eljárás (Witten, Sander, 1983) során távolról indított részecskék bolyonganak egy rácson és tapadnak hozzá az aggregátumhoz. A következő részecske csak akkor indul, ha az előző már a klaszterhez tapadt. Ha a fluktuációk kis öblöt alakítanak ki a klaszter felületén ez továbbra is nagy valószínűséggel fennmarad, mivel a részecskék rendezetlen mozgásuk miatt oda nem tudnak behatolni. Megmutatható, hogy a részecskék adott ponton való tartózkodása eleget tesz a Laplace-egyenletnek, míg a felülethez való tapadás a Laplace-egyenlet mozgó határfeltétellel leírható peremfeltételének felel meg (Vicsek, 1990). Az instabilitás következtében kialakuló bonyolult struktúráról Witten és Sander megmutatta, hogy egy adott hossz tartományon belül egy hatvány szerint lecsengő ún. sűrűség-sűrűség korrelációs függvénnyel írható le: c(r) a r" D c(r) = (p(r + r'),p(r')) = ~Yp( r + r')P( r') Nr ahol c(r) a sűrűség-sűrűség korrelációs függvény. A p(r) kifejezés a lokális sűrűséget jelenti, és p(r) -> 1, ha az r pontban van részecske, -> 0, ha nincs.) Látható, hogy ez a definíció pontosan a fraktál alakzat statisztikai definíciójával egyezik meg, amely szerint az alakzat dimenzióját a mintázaton véletlenszerűen felvett középpontokkal rendelkező körök sugarának hosszra normált logaritmusa, és az adott körön belül eső részecskék számának logaritmusa által meghatározott egyenes iránytangense jellemzi. A DLA modell a Laplace-egyenlet megoldásával analóg, hiszen legyen c(x,m) annak a valószínűsége, hogy egy bolyongó részecske az m-edik lépésben az x helyen lévő rácspontba ér. Rényi alapján a bolyongások esetén c eleget tesz a c(x, m+1) = 1/z c(x+a,m) egyenletnek, ahol a az x rácspont z (darab) szomszédján fut végig (Rényi 1967). Ez az egyenlet nem más, mint a Laplace egyenlet diszkrét változata. Annak a valószínűsége, hogy a felület egy pontjához részecske fog érkezni a (k+1 )-edik lépésben v(z,k+l) = 1/z E. c(x+a,k) amely a Laplace-egyenlettel felírt határfelület mozgásának sebességével analóg. 2. Kaotikus részecskesodródás 2.1. Általános elvek A klasszikus elméleti fizikában a hamiltoni rendszerekhez rendelt mozgásegyenletek jellegzetessége, hogy az általános koordináták és az impulzusok kifejezhetők a rendszer Hamilton függvényének deriváltjaként. Ha a rendszer integrálható, ekkor alkalmas kanonikus transzformációval hatás-, és szögváltozókat lehet bevezetni úgy, hogy a hatásváltozók mozgásállandók, a szögváltozók pedig független periodikus mozgást végeznek, ami az eredeti fázistéren egy tóruszon való mozgásnak felel meg. A fent bevezetett általános impulzus és általános koordináták periodikus függvények. Kétdimenziós felszín alatti áramlásra meghatározható hamiltoni rendszer nem integrálható, azaz a rendszerben felvehető állapotjellemzők száma (n) egynél nagyobb. Ekkor a mozgás a kezdőfeltételek függvényében n-dimenziós tóruszokon, vagy 2n-l dimenziós energiafelület véges térfogatú tartományán megy végbe. Ez utóbbi mozgás kaotikus, stabil és instabil sokaságok metszésének jelenléte miatt (Bene, 1991). A stabil és instabil sokaságok esetünkben olyan invariáns görbék, amelyek érintője bizonyos pontokban a mozgást megvalósító linearizált leképezés stabil, illetve instabil sajátiránya. Ezen fogalmak a differenciálegyenletek stabilitásának elméletéből jól ismertek. A kétdimenziós rendszer kaotikusságának bizonyítása meghaladja jelen dolgozat kereteit, ezért a következőkben igen röviden az úgynevezett egydimenziós háztető leképezést mutatjuk be. A háztető leképezés az x*, = 1 - [1-2.x'] összefüggéssel jellemezhető, (t az időt jelenti). Jól látható módon ez a leképezés a [0,1] intervallumot a kétszeresére növeli majd felére összehajtja, azaz végül ismét a [0,1] intervallumot kapjuk. A mozgás korlátos marad, de kezdetben két egymáshoz közel lévő pont távolsága exponenciálisan növekszik iterációnként. Ez a leképezés ún. teljesen kifejlett káoszt generál. A kaotikus trajektóriák olykor a teljes alaptartományt bejárják, s az egyes pontok egyes részintervallumbeli előfordulási valószínűségei sima függvényekkel írhatók le. Ezen körülmény az ergodicitásra utal. Tekintsük pl. P(x) és x és a x+dx közötti előfordulásának valószínűségét. Ekkor a P(x) sűrűség eleget tesz a Fröberius-Perron egyenletnek, azaz: dx P(x) = Z
