Hidrológiai Közlöny 1996 (76. évfolyam)
5. szám - Bakucz Péter: A hidrodinamikai fraktál diszperzió
290 HIDROLÓGIAI KÖZLÖN Y 1996. 76. ÉVI". 3. SZ.. rint kb. négyszáz ismertjelenség laboratóriumi mintázata tartozik, azaz, amely ilyen értékű fraktál-dimenzióval jellemezhető. A matematikai fizika nyelvhasználatát a laboratóriumi esetre tekintve, ekkor, határátmenetet vizsgálva, végtelen számú jelenséggel rokon a hidrodinamikai diszperzió, azaz (elvileg) a valós világ összes jelenségét leírni képes. Ezt azonban az ismert fizikai világkép cáfolja, azaz alapvető ellentmondásra vezet. A dolgozat első fejezetében a hidrodinamikai diszperzió rövid bemutatása, majd fraktál jellegének elméleti igazolása következik. Az igazolás során nem törekedtünk egzakt matematikai elvek bizonyítására, célunk elsősorban a mérnöki alkalmazások lehetőségeinek feltárása. Ezt követően röviden bemutatjuk a termodinamikai formalizmus kapcsolódását a hidrodinamikai diszperzió értelmezéséhez. A második fejezetben a kaotikus sodródás alapjait mutatjuk be. Ez lesz az eszközünk a termodinamikai formalizmus alkalmazásához a diszperziós rendszer egy dinamikai jellemzőjének meghatározásakor. A harmadik fejezetben az alkalmazott modellt ismertetjük. Itt mutatjuk meg a modell által létrehozott leképezés egyes geometriai és dinamikai tulajdonságát. A negyedik fejezetben laboratóriumi diszperziós front mintázatok feldolgozására megalkotott számítógépes rendszer adatkódolási igényeit vázoljuk, s itt mutatjuk be az adatkódolási rendszer és a hidrodinamikai diszperzió fraktáldimenziójával megegyező adatkódolás főbb részleteit, valamint a laboratóriumi diszperziós kisérlet alapjait. 1. A hidrodinamikai diszperzió leírásának elemei Dinamikailag a diszperziót két alapvető mechanizmus eredményezi a makroszkopikusan homogén, mikroszkóp ikusan rendezetlen felszín alatti közegben. Az első mechanizmus geometriai jellegű: A szemcsés porózus közegben az áramcsövek elágaznak, majd újra egyesülnek végtelen sorozatban, s az áramlás fő irányával megegyezően haladva a részecske útja ismét keresztezheti a fő áramvonalat (ez jelenti a folyamat véletíen természetű változékonyságát). A második mechanizmus kinematikai: A részecske haladási sebessége függ az áramcső hidraulikus érdességétől, irányától és a helyi nyomástól is amely elsősorban a makroszkopikus értelmű nyomásgradienstől való eltérés következtében létrejött mozgásban nyilvánul meg (Saffrnan, 1959). Az elemi diszperzió (a gyakorlatban elteijedt kifejezés szerint a hidrodinamikai diszperzió) állandó társa a molekuláris diffúzió, amely a fent nevezett két alapvető mechanizmust módosíthatja. A tisztán mechanikai jellegű hatásokból felépített mechanikai diszperzió jelensége és a szállított anyag kémiai potenciáljában (vagy azzal arányos koncentrációjában) fennálló inhomogenitás következtében ható molekuláris diffúzió jelensége egymástól fuggetíen, az eredő D a diszperziós tényezőt a következőkben lehet felírni: D 4= D 0 + D m, ahol D 0 a molekuláris diffúziós tényező, D m a mechanikai diszperziós tényező (nagyobb áramlási sebességek esetén D m»D 0) (Ujfaludi, 1986). A D 4 diszperziós tényező általános esetben tenzor jellegű mennyiség és 9 elemű mátrixszal jellemezhető az áramlási tér minden pontjában. Ez igen bonyolulttá teszi a feladat leírását. Vannak azonban olyan tényezők, amelyek nagyfokú egyszerűsítést tesznek lehetővé. Egyrészt, bizonyos határfeltételek esetén a D 4 diszperziós tényező mátrix elemeinek többsége zérussá válik, másrészt sikerült empirikus összefüggéseket találni a diszperziós tényező mátrix elemei és a sebességkomponensek között. Statisztikai meggondolások szerint a porózus közegben kialakuló lamináris áramlásban a fiktív részecskesokaság utazási ideje (átfolyási-, átvonulási idő), két tetszőleges térbeli pont között elsősorban azon véletlen jellegű áramvonalaktól függ, amelyeket a jelzőanyag részecskék a pórusok között követnek. Az egyes részecskék eltérő útvonalakon érkeznek a kiválasztott végponthoz, azaz az odaérkezés idejének statisztikai eloszlása a folyamatra jellemző paraméter (De Gennes, 1983). A részecskék átvonulási idejének statisztikai eloszlása (a koncentráció-front kiterjedtsége) a longitudinális diszperzió mértéke. A részecskék sokasága az állapottér mentén hossz-értelemben terjed szét. A front emellett szétterül a folyamat irányára merőlegesen is. A részecskék által követett utak statisztikai eloszlása, avagy szemléletesen hálózatmodellre vonatkoztatva, a kilépési pontok eloszlása a transzverzális diszperzióra utal. A hidrodinamikai diszperzió szimbolikus fraktál analógiája A felszín alatti térben lezajlódé diszperziós folyamatok áramképét az un. de Gennes modellel közelítik (De Gennes, 1983). Ez esetben a felszín alatti térben kialakuló áramlás visszavezethető a Laplace-egyenletre. A diszperzió modellezésénél alapvető feladat a Laplace-egyenlet megfelelő kezdeti feltételeket kielégítő részecske-pályák meghatározása. A felszín alatti térben a mozgó határfeltételek által kirajzolt mintázatok képződése akkor fordul elő, amikor két folyadék egymásra hatását vizsgáljuk. Ennél a jelenségnél a mintázat kialakulását egy skaláris jellegű mennyiség viselkedése dominálja, amelynek térbeli eloszlása eleget tesz - bizonyos közelítések mellett - a Laplace-egyenletnek. A szakirodalomban diflüzió-limitált vagy Laplace-növekedésnek nevezik azokat a határfeltétel növekedésével járó folyamatokat, amelyek a Laplace egyenlettel írhatók le. (Az elnevezés onnan ered, hogy a diffundáló részecskék koncentrációjának eloszlása eleget tesz a Laplace-egyenletnek). A Laplace-egyenlet a felszín alatti térre: V 2C = 0 ahol c egy tér jellegű változót jelent (koncentráció). Ez az egyenlet a fizikai folyamat mibenlététől függő közelítésnek felel meg, ami azt a feltételezést jelenti, hogy a fázishatár mozgási sebessége kicsi ahhoz a karakterisztikus időhöz képest, ami az adott időpillanatbeli határfelületnek megfelelő stacionárius eloszláshoz való relaxációjához szükséges.
