Hidrológiai Közlöny 1996 (76. évfolyam)
1. szám - Gáspár Csaba–Szél Sándor: Hirtelen szelvénybővületnél kialakuló turbulens áramlások szimulálása perem-integrálegyenlet módszerrel
GÁSPÁR CS. - SZÉL S.: Turbulens áramlások szimulálása... 9 A két egyenletet kivonva egymásból, és felhasználva az előző szakasznak az egyszerű réteg potenciál normális irányú deriváltja ugrásáról szóló 2.Tételt: "belső (*) - "belső (*) = Innen (25) figyelembevételével w(x) =-(1-/?)-"belső 00 (27) adódik. Ez a formula közvetlen számításra még nem alkalmas, mert tartalmazza a szintén ismeretlen tangenciális sebességet. A következőkben azonban bebizonyítunk egy tételt, melynek segítségével u> már számítható. 4.Tétel: A w sűrűségfüggvény kielégíti a következő perem-integrálegyenletet: - (1 - fi) • [a(x) • y(x) + (Ki//)(\) - (Z,<u)(x)] Rw = —(1 - fi) -[Rii - (a£ + ai// — K\f/)\ = -d - fi) • [(-«£ - A'í + R>]) + (ai// + Ky)\ Ámde a jobboldalon a szögletes zárójelben álló kifejezés első tagja a (18) perem-integrálegyenlet értelmében épp al egyenlő. Ezzel a tételt bebizonyítottuk. A (28) perem-integrálegyenletben most már csak a w sűrűség ismeretlen, így (28) - diszkretizálás után - w-re nehézség nélkül megoldható, w ismeretében £, a (24) egyenlőség alapján, cgyenletmegoldás nélkül számítható. Ezekután pedig i] a (23) perem-integrálegyenletből számítható, melyben tj ugyancsak az R perem-integráloperátor mögött áll, így diszkretizált alakjában ugyanaz a mátrix lép fel, mint (28)-ban, w számításakor. Összefoglalva, a modell fő lépései (minden egyes időszinten) a következők. A /"peremen, mint (7) peremfeltétele, adott a i// függvény, ezekután: 1.lépés: Oldjuk meg w-rc az Bizonyítás'. Tekintsünk egy tetszőleges, /2-n harmonikus (azaz a Laplace-egy cnlelcl kielégítő) <p függvényt. Akkor (18) alapján a peremen a <p és a dtp/dn függvények kielégítik az alábbi perem-integrálegyenletet: a-w + K<p-R— = 0 r r ch innen — = R~ ] (a<p + K<p) dn (ahol R~ l jelöli az R perem-integráloperátor inverzét). Tekintsük most speciálisan a w sűrűségű egyszerű réteg potenciált, mely a 2.Tétel értelmében szintén harmonikus függvény az Í2 tartományon. Akkor f d \ f 1 — fíogj j-w(y)rfr = w belsóí- l X-y! = R~ l (a • Rw + KRw)(x) Innen, valamint (26) második egyenletéből és (27)-ből: w = -(i -p)[n—-R~ l(a-Rw + KRw)] 2 71 Mindkét oldalra alkalmazva az R perem-integráloperátort, a jobboldalon pedig Rw helyébe beírva a (24)ből nyomban adódó Rw=2n(£-t//) kifejezést: Rw(x) = N 1 -(1 -fi)- [a(x)y/(x) + (Ky/)(x) + Yco k • log, ,] ti perem-integrálegyenletet. 2.lépés: Az imént számított »v segítségével képezzük a 2 n peremfüggvényt. Ehhez külön cgyenletmegoldás nem szükséges. 3.lépés: Ezt a felhasználva, oldjuk meg ;/-ra az N 1 «(x) • £(x) + (K£)(x) - (*»/)(*) = -Y CO k • log: : perem-integrálegyenletet. 4. lépés: Meghatározván a if, i] függvényeket, képezzük a (21) formulával definiált y áramfüggvényt, és minden egyes x y örvényrészecske-pozícióban számítsuk ki ennek deriváltjait: ily módon újítsuk fel az aktuális sebességkomponenseket. Az így számított sebességekkel 'mozdulnak el az örvényrészecskék a következő időlépésben. Megjegyzések: 1. Ha speciálisan fi=\ (tiszta csúszás az oldalfalakon), akkor az 1. lépésben w=0, ezért £=y/és tf=dy/ldn. Ekkor tehát az oldalfal az áramlást nem befolyásolja.
