Hidrológiai Közlöny 1995 (75. évfolyam)
2. szám - Gáspár Csaba–Józsa János–Simbierowicz, Pawel: Új szemléletmód a numerikus hidraulikában. IV. Áramlási és transzportfolyamatok Langrange-féle modellezése egyenlőtlen hálók használatával
80 HIDROLÓGIAI KÖZLÖNY 1995. 75. ÉVF. 2. SZ^JVI kerülünk szembe, hogy hogyan lehet valamilyen megoldási eljárást pl. differenciasémát konstruálni szabálytalanul, sőt teljesen rendszertelenül elhelyezkedő alappontokra. Ráadásul a megoldási eljárásnak elég gyorsnak is kell lenni, mivel azt minden egyes időszinten meg kell ismételni. A hagyományos és talán a legtermészetesebb módszer egy háromszöghálót generálni e pontokra, és azon Galjorkin-módszert (vagy más, nemortogonális hálókra kifejlesztett sémákat, ld. Heinrich (1987)). Időfüggő problémákra azonban ez a megközelítés nem kielégítő, mivel az eljárást minden egyes időszinten ismételni kell, ami igen időigényes. Egy másik lehetőség az ún. szórt alappontú interpolációs módszerek használata (vő. sorozatunk első dolgozatával). Erre vonatkozólag Kansa (1990a) az ún. "multiquadric" interpolációt javasolta (ld. még Hardy (1990)), melynek alapgondolata, hogy ha adottak az (j:j j ), (X2,y(x N,y N) alappontok a síkon, valamint a hozzájuk rendelt/]/ 2,.../ N számértékek, akkor definiáljuk a következő interpolációs függvényt: Áx,y) k= 1 {x-x kY + (y-yó +r k) (7) Itt az r k paraméterek bizonyos optimalizálási szerepet játszanak, az a k együtthatókat pedig úgy kell megválasztani, hogy az Áx k,y k) =f k (*=1,2,...,/V) (8) interpolációs egyenlőségek teljesüljenek. Ez természetesen egy /V-ismeretlenes algebrai egyenlet megoldását igényli: ennek műveletigénye O(A^), mivel a mátrix teli mátrix, és általában nemszimmetrikus (és még rosszul kondicionált is). Ezt az eszközt úgy alkalmazhatjuk a diffúziós lépés megoldására, hogy a (7) kifejezést (3)-ba helyettesítjük: az a k együtthatókat úgy határozzuk meg, hogy (3) teljesüljön az áramlási tartomány minden belső pontjában; a határon pedig az előírt peremfeltételeknek kell teljesülniük. Részletesebben ld. Kansa (1990b). Bár ez a megközelítés sokat ígérő és igen pontos, megjegyzendő, hogy a Lagrange-fé\e rendszerek sok mozgó pontot használnak: ez pedig aláássa a módszer hatékonyságát, mivel 0(/V 3) műveletszám minden egyes időszinten aligha megengedhető. A diffúziós részprobléma megoldásának egy harmadik módja a véges differencia módszer használata: ez nyilvánvalóan a következő lépésekből áll: 1. megfelelő háló generálása; 2. a mozgó (Lagrange-féle) pontok által szállított értékek átvitele erre a hálóra; 3. a diffúzió megoldása ezen a hálón; 4. a megoldás visszavitele a mozgó pontokra. Ha szokásos módon derékszögű rácshálót használunk, akkor az 1.lépés triviális és elhagyható. Ugyanakkor viszont ez a merev háló nem mindenütt illeszkedik jól a Lagrange-íé\e pontokra, ami nagy hibákkal iárhat, hacsak a háló nem nagyon finom, ami v ; <•«" ;en költségessé tenné a diffúziós lépést. A QT-hálók alkalmazásával a czuoanforgó dilemma kézenfekvően feloldható. Ekkor az 1.pontbeli számítási háló olyan QT-háló, melynek generálását maguk a mozgó Lagrange-ié\e pontok vezérlik. A diffúziós részproblémát e hálón diszkretizáljuk. Idő szerint implicit sémáról lévén szó, a diffúzió megoldása a diszkretizáció során algebrai egyenletrendszer megoldását igényli. Ez hatékonyan elvégezhető a multigrid módszer alkalmazásával. A diszkretizáció és a multigrid megoldás technikáját itt nem részletezzük: erre nézve sorozatunk második dolgozatára utalunk (Gáspár et al (1994b); ld. még Gáspár et al (1990)). Mivel a QT-háló finomsága követi a Lagrange-fé\e pontok síkbeli sűrűségét, a 4.lépés során általában fellépő numerikus diffúzió minimalizálható, sőt, teljes mértékben is elkerülhető. Megjegyzés: A 4.pont végrehajtása akkor okozhat numerikus diffúziót, ha egy-egy cellában egynél több mozgó pont van. így mindegyikük ugyanazt a koncentrációértéket kapja, akkor is, ha a D diffúzió történetesen zérus. Anélkül, hogy e probléma részleteibe belemennénk, megjegyezzük, hogy ezen egy egyszerű fogással lehet segíteni: nevezetesen, nem közvetlenül az új c" +1 értéket adjuk át a mozgó pontoknak, hanem az egyes pontokhoz rendelt koncentrációértékeket külön-külön korrigáljuk a (c" + 1 — c" +1/ 2) korrekciós taggal: e korrekciós tagban mind t />+ 1, mind c /1+1/ 2 esetén az adott cellára vett átlagérték értendő. Ily módon zérus diffúzió esetén a diffúziós lépés már nem változtat a koncentrációértékeken, azaz numerikus diffúzió valóban nem lép fel. Természetesen ekkor pontossági problémák merülnek fel, melyek mindazonáltal nem jelentősek, ismét csak a háló adaptív jellege miatt. Numerikus példák A most leírt módszert három példán keresztül illusztráljuk. Az egyszerűség kedvéért a számítási tartomány mindhárom esetben az egységnégyzet: a számításokat dimenziómentes változókkal hajtottuk végre. Mindegyik példában a maximális felbontási szint 7 volt, ami azt jelenti, hogy a legkisebb cellaméret 1/128 hosszegység. 1.példa: Tiszta diffúziót szimuláltunk, mely egy kör felületén egyenletes eloszlásból mint kezdeti feltételből indult (e körön kívül a kezdeti koncentráció zérus volt). Ez a feladat természetesen még nem igényel Lagrangeféle modellezést. Az 1. ábrán látható a quadtree-generálta háló, melyet a szóbanforgó kör kerületén elhelyezett pontok vezéreltek: úgyszintén itt mutatjuk be a szimulált diffúziós folyamat három fázisát is. 2.példa: A módszert olyan advektív diffúziós problémára alkalmaztuk, melynek sebesség mezője egy csatornában végbemenő áramlás, parabolikus sebességprofillal: a maximális sebesség középen egységnyi volt. A Lagrange-féle pontokat továbbmozdítva az új pozíciójukba, a quadtree hálót minden időszinten újra- és újrageneráltuk. A kezdeti koncentráció konstans volt egy ellipszisen
