Hidrológiai Közlöny 1994 (74. évfolyam)

4. szám - Gáspár Csaba–Józsa János–Simbierowicz, Pavel: Új szemléletmód a numerikus hidraulikában. II. Differenciasémák és multigrid módszerek egyenlőtlen hálókon

206 HIDROLÓGIAI KÖZLÖNY 1994. 74. ÉVF. 2. SZÁM c —Nfc.1 c -SEN • E • E C (a) (b) (c) — Nfvy ~ Un

w ~ M

<" dn VlÖ ' ——. h du Usw-Uc dn ~ VIÖ ahonnan a diszkrét fluxusok: /S^ ~ 3-^-"c). J^^T ~ J.(Usw-Uc) NW SW ami végeredményben (ll)-gyel megegyező sémára vezet. •NUSWVégül mutatunk egy még egyszerűbb, mindamellett - bár ezt sem bizonyítjuk - még mindig konvergens sémát, amely szintén csak az oldal-szomszédokat szerepelteti, de csak centrális különbségi hányadosokat tartalmaz. Tekintsük a 4. ábrán látható három alapesetet. Az (a) esetben továbbra is használjuk a centrális sémát: 4. ábra. Cellaelrendezések cella-középponti integrált sémák esetén így az innen adódó séma nem egyezik a Taylor-kifejtésen alapuló, a Laplace-operátorral konzisztens sémával. Ennek ellenére a (9)-(10) közelítéseken alapuló sémák mégis konvergens módszert eredményeznek (egy alkalmas, jól definiált konvergencia szerint). Ennek matematikai elemzése az ún. Bramble-Hilbert lemma (ld. Oden és Reddy 1976) alapján végezhető el: a részletekkel itt nem foglalkozhatunk. Ld. még Ewing et al (1991). Megjegyzés: Ugyancsak a (9)-(10)—(11) sémákra vezet a következő meggondolás. Az adott QT-hálóból kiindulva, módosítsuk az egyes cellák alakját úgy, hogy az oldalak mindig merőlegesek legyenek a cellaközéppontot a megfelelő oldal-szomszédos cella középpontjaival összekötő egyenesre (5. ábra). Az itt látható esetben a C cella ötszöggé módosult. A kifelé mutató normális irányú deriváltat most már külön-külön, mindegyik oldalon kézenfekvő módon lehet approximálni a megfelelő különbségi hányadosokkal. Elemi geometriai összefüggések alapján könnyen látható, hogy az 5. ábrán látható esetben, az NW, SW oldalak mentén e különbségi hányadosok: OU. 1 (12) A (b) esetben alkalmazzuk úgyszintén (12)-t, ahol most u

E legyen az NE, SE cellák szülőjéhez rendelt érték. A szóban forgó szülőcella már azonos méretű C-vel, ezzel szemben nem tartozik a QT-gráf „levelei" közé, így a hozzárendelt értéket alkalmas módon definiálni kell. Rendeljük hozzá minden szülő-cellához egyszerűen a gyermekekhez rendelt értékek számtani közepét: így most már mindegyik cellához tartozván hozzárendelt érték, (12) értelmes marad. Hasonlóan, a (c) esetben legyen du u

E-u

c a«

,

E~ 2 h (13) ahol C' jelöli C szülőjét. Igazolható, hogy az így nyert sémák továbbra is konvergens módszert eredményeznek, bár a Taylor-kifejtésen alapuló értelmezésben ezek is általában inkonzisztensek a Laplace-egyenlettel. Megjegyzés: A fenti sémák könnyen általánosíthatók a Lop/ace-operátortól különböző elliptikus differenciáloperátorokra. Tekintsük pl. az általánosabb div k grad u = f (14) egyenletet, ahol k egy pozitív függvény Q-n, akkor a cella feletti integrálás most a következő eredményre vezet du f div A: grad u dQ = fk. ^ dT = JfdQ (15) 5. ábra. Séma konstruálása a cella deformációjával xi n Itt tehát ugyancsak a du/dn normális irányú deriváltat kell approximálni, mely még szorzandó egy alkalmas, a cellaoldalakra vett átlagos k-értékkel. A (14) egyenlet fizikailag pl. egy Darcy-féle stacionárius szivárgást ír le inhomogén, de izotróp közegen keresztül: ugyancsak (14) alakú egyenletre vezetnek a sekély vizek mozgását leíró, mélységintegrált stacionárius Navier-Stokes-iéle egyenletek is, amennyiben a konvektív gyorsulás elhanyagolható a külső erők (szél) hatásához képest. Ezzel a problémával, tehát a sekély tavakban a szélkeltette vízmozgás modellezésével sorozatunk következő, harmadik dolgozatában foglalkozunk részletesebben. Az elliptikus, másodrendű differenciáloperátoroknál technikailag egyszerűbb, az első deriváltak approximációja. Itt csak annyit emelnénk ki, hogy a (9)-(10), ill. (12)-(13) fluxus-approximációk kézenfekvő módon alkalmasak az első deriváltak közelítésére is. Az x-sztrinti derivált pl. a keleti és nyugati, az y-szerinti derivált pedig az északi és déli oldalakon keresztül fluxusok segítségével közelíthető a következő formulákkal: du^l dx~ 2 'du. du. \ du 1 (du. du. \ dy ~ 2 ' a^J