Hidrológiai Közlöny 1994 (74. évfolyam)

4. szám - Gáspár Csaba–Józsa János–Simbierowicz, Pavel: Új szemléletmód a numerikus hidraulikában. II. Differenciasémák és multigrid módszerek egyenlőtlen hálókon

GÁSPÁR Cs. et al.: Új szemléletmód II. 205 N • C • E S N • E U • • c • E S SE (a) nincs nagyobb oldalszomszéd (b) van nagyobb oldal-szomszéd 2. ábra. Cellaelrendezések cella-középponti sémák esetén i • i Hc • — Fr -H; -H .tb Az (a) esetben a centrális C cella minden oldalszomszédja C-vel egyező nagyságú vagy feleakkora (ennél kisebb a regularitás értelmében nem lehet). Ekkor (4) felhasználásával legalább elsőrendű sémák konstruálhatok a C cellára és annak csak az oldalszomszédaira támaszkodva. A 2a. ábrán látható konkrét esetben: , 16«>™, + 16w™,+ 20m

v + 20«, + 24u

F- 96u

r (Au)

c ^ ^ ^ ^ ^ + 0{h) 21h (6) (A«)

c 21 tí + O(h) (7) fAudQ=f^dT = 0 (8) A (b) esetben (amikor legalább egy nagyobb méretű oldal-szomszéd van) a helyzet ennél nehezebb. Ekkor ui. pusztán az oldal-szomszédok segítségével a másodrendű vegyes derivált nem küszöbölhető ki. Szükséges ezért egy sarok-szomszédot is bevezetni. Ezt célszerűen a nagyobb oldal-szomszéddal is szomszédosnak választva, a vegyes derivált már kiküszöbölhető: a 2b. ábrán mutatott esetben azt nyerjük, hogy: 3. ábra. Cella-középponti sémák: további cellaelrendezések ahol SC jelöli a C cella peremét és n a kifelé mutató normálvektor. Ily módon elég a cellaoldalakon keresztüli fluxusokat approximálm a második deriváltak approximációja helyett. Tegyük fel pl., hogy a cella keleti oldalán keresztüli fluxust akarjuk közelítem. A QT-háló regularitása miatt ekkor csak három különböző eset lehetséges, melyből kettő azonban lényegileg megegyezik (4. ábra). Az (a) esetben a szokásos centrális sémát alkalmazzuk: A QT-hálók regularitása biztosítja, hogy ezeknél lényegesen bonyolultabb eset nem lép fel, és minden esetben elegendő legfeljebb egy sarok-szomszédos cella bevezetése a sémába. Megjegyzés: Az (a) esetbe további 5 a (b) esetbe további 7 cellaelrendezés tartozik, nem számítva külön elrendezésnek azokat, melyek ezekből elforgatással származtathatók). Ezek láthatók a 3. ábrán. Megjegyezzük még, hogy a kapott sémák általában nem szimmetrikusak, ami kizárja a szimmetriát kihasználó megoldási módszerek alkalmazását: a későbbiekben bemutatásra kerülő multigrid eljárás mindazonáltal ezeknél is használható. Differenciasémák konstruálása QT-hálókon a cellák feletti integrálással Az eddigieknél jóval egyszerűbb, szimmetrikus, cellaközépponti sémák konstruálhatok, ha a 7ay/or-sorfejtés helyett az (1) differenciálegyenlet ún. gyenge vagy variációs alakját használjuk. Integráljuk (l)-et egy C cellán, ekkor a Green-formula értelmében: • du dn du. dn 1 h (9) míg a (b), ill. (c) esetben a következő közelítést tesszük: UNE + USE du . ~dn'

E' -Ur i" •II d

u I ,111. -|

E~«

£ U

C + U

N . h (10) ahol h ismét a C cella oldalhosszúsága. A (10) formulák konstrukciója annak a feltételnek az alapján történt, hogy azok pontosak legyenek minden, legfeljebb elsőfokú polinomra. A séma most már úgy nyerhető, hogy a fenti közelítések valamelyikét alkalmazzuk a C cella mind a négy oldalán. Ellentétben az előző megközelítéssel, itt a C cellának kizárólag oldal-szomszédai szerepelnek, sarok-szomszédai sosem. Megjegyzés: A (9)-(10) közelítésekből adódó sémák általában nem konzisztensek a Laplace-operátorral a szokásos Jay/or-kifejtéseken alapuló definíció szerint. Valóban, a 2a. ábrán látható cellaelrendezésre a (9)(10) formulák a következő fluxus-összeget adják: / du 2 + 2 u

s

w + 3 u

N + 3u

s + 3 u

E - 13 u

c -dT~ (11) ac