Hidrológiai Közlöny 1993 (73. évfolyam)
2. szám - Gáspár Csaba–Szél Sándor: Kvázi analitikus számítási eljárás az egydimenziós vízmozgás és szennyezőanyag-terjedés modellezésében. II. rész
70 HIDROLÓGIAI KÖZLÖNY 1993. 73. ÉVF. 2. SZÁM 0,5.10* 10" 2. 10* o analitikus megoldás — kvázi analitikus megoldás 1. ábra. Numerikus instabilitás fellépése a kvázi-analitikus megoldás során melynek menete ugyanilyen szélsőséges, de ellenkező értelemben: a sorösszeg nagyon gyorsan 0-hoz tart, ahogy x nő. Mivel pedig a csonkítás a sorösszeg kiszámításába valamilyen hibát visz be, a fenti faktor ezt a hibát L-hez közeli x-ek esetén mértéktelenül felnagyítja. Különösen érvényes ez olyan t időpontok esetére, melyet egy hirtelen változás előzött meg az a peremfeltételi függvényben: ekkor ui. a szóban forgó Fourier-sor lassabban konvergál, így a csonkítás nagyobb hibát okoz. Az 1. ábrán ezt a jelenséget illusztráljuk egy mintapéldán. Itt a (7) által definiált problémát a következő konkrét paraméterértékek mellett vizsgáltuk (az adatok tetszőleges, de összetartozó mértékegységében értendők): L = 2 • 10 (hosszegység) C = 3 (hoszegység • időegység" ) D = 2 • 10* 2 1 (hosszegység" • időegység ) így a Péclet-szám 30. Peremfeltétel gyanánt egy „lökésszerű terhelést" választottunk, azaz most a(f) a 0-ra koncentrált egységnyi erősségű impulzus: a (22) formulában p k(t) értékeit most ennek megfelelően számítottuk a (25) összeg kiértékelése helyett, mely a szakaszonként lineáris peremfeltétel esetén érvényes). A megoldás mindaddig, amíg a peremfeltétel keltette „hullám" távol van az x=L jobb végponttól, igen jó közelítéssel egyezik azzal a megoldással, mely az !=+<» esethez tartozik, azaz, amikor a vizsgált intervallum a (0, + °o) félegyenes. Ez utóbbi esetben a megoldás zárt alakban is ismeretes, éspedig: (27) Az 1. ábrán feltüntettük ezen analitikus megoldás értékeit is, valamint a bemutatott kvázi-analitikus módszer szolgáltatta megoldást a í=2700 időpont mellett. A figyelembe vett tagok száma a Fourier-sorban 31 volt. Látható, hogy a vizsgált intervallum bal felében a kétféle megoldás nagyon jól egyezik: nagyobb x-ekre azonban a kvázi-analitikus módszer numerikusan instabillá válik. Ha azonban a Fourier-sorban az összegzést 50 tagig hajtjuk végre, az instabilitás megszűnik, és a kvázi-analitikus megoldás a teljes intervallumon illeszkedik az analitikus megoldásra. A fenti numerikus instabilitás csökkentése, ill. kiküszöbölése tehát egyrészt a sorösszeg pontosabb kiszámítása útján lehetséges: a Fourier-sorból több tagot kell figyelembe venni. A pontosság ily módon való fokozásának lehetősége azonban korlátozott: a fenti exponenciális faktor oly gyorsan nő a Pec/e/-számmal, hogy a sorösszeg elegendően pontos kiszámítása gyakorlatilag lehetetlenné válik. Egy másik lehetőség az instabilitás elkerülésére, ha az eredeti [0, L] intervallumot az L s, L 2, L r osztópontokkal részekre bontjuk, ezekután ahelyett, hogy a kvázi-analitikus megoldást az egész [0, L] intervallumon előállítanánk, azt csak az jtsi ; pontokban számítjuk (ahol az még elegendően pontos): az x=L± melletti értékeket pedig most már mint peremfeltételt használva, leszűkítjük a problémát az [L 1 ; L] intervallumra. Itt kiszámítjuk a kvázi-analitikus megoldást, de csak az x^L 2 pontokban: az x=L 2 melletti értékeket peremfeltételként használva, továbbá szűkítjük a feladatot az [L 2, L] intervallumra, és így tovább. Ily módon mindig elegendően távol maradhatunk a jobb oldali instabil részektől, az eljárást itt nem részletezzük, de megjegyezzük, hogy az eredeti intervallum sok részre való osztása növeli a szükséges számítási munkát, ami a módszer gazdaságosságát csökkenti. Összefoglalva: a fentiekben leírt kvázi-analitikus módszer akkor gazdaságos a végesdifferencia módszerekhez képest, ha az alábbi feltételek teljesülnek: — a (7) által meghatározott probléma nem konvekciódomináns, azaz a (26) Péclet-szám nem túl nagy (tapasztalataink szerint legfeljebb tizes nagyságrendű lehet); — az a(t) peremfeltételi függvény időbeli változása kevés számú törésponttal írható le. E feltételek teljesülése esetén a módszer akkor is jól alkalmazható, ha a számítást hosszú időtartamra kell végrehajtani. Éppen ezért a módszer igen jól használhatónak bizonyult egydimenziós áramlásoknak diffúziós hullám közelítéssel való számítására, amikor is a (7) probléma fizikai szempontból impulzusdiszperzót ír le [Szél (1988) Szél és Gáspár (1992)],: ekkor ui. a D konstans (az impulzusdiszperziós tényező) elég nagy ahhoz, hogy a Péclet-szám megfelelően kicsi legyen gyakorlatilag az összes magyarországi természetes vízfolyásra és mesterséges, szabadfelszínű csatornára, áramló vízmozgás mellett. Felszíni vizekben való szennyezőanyag-transzport számítására a kvázi-analitikus módszer kevésbé alkalmas, mert ekkor a (7) problémában a D konstans (most diszperziós tényező) az előbbinél nagyságrendekkel kisebb. Ilyenkor az alapintervallum részekre osztásával érhetünk célt, amint azt fentebb vázoltuk. 5. A módszer kiterjesztése általánosabb peremfeltételekre A 3. fejezetben leírt kvázi-analitikus módszert arra a speciális esetre vezettük le, amikor a peremfeltétel a [0, L] intervallum mindkét végpontján Dirichlet-féle, sőt a jobb végponton (x=L mellett) azonosan zérus. Most megmutatjuk, hogy az általánosabb (2) peremfeltételek mindegyike erre visszavezethető. Látni fogjuk ugyanakkor, hogy a visszavezetés a megoldás műveletigényét lényegesen nem növeli. Tekintsük tehát + C • —-D d 2u dt d x dx" u(0, x) = 0 = 0 (28) differenciálegyenletet ill. kezdeti feltételt. Mindkét végponton Dirichlet-feltétel Ekkor (28)-hoz az
