Hidrológiai Közlöny 1993 (73. évfolyam)
2. szám - Gáspár Csaba–Szél Sándor: Kvázi analitikus számítási eljárás az egydimenziós vízmozgás és szennyezőanyag-terjedés modellezésében. II. rész
GÁSPÁR CS. - SZÉL S.: Kvázi-analitikus számítási eljárás 69 használásával egy algebrai lineáris egyenletrendszer megoldása útján nyerhetők (implicit sémák). Szerencsére ez utóbbi esetben az egyenletrendszer mátrixa olyan speciális, kedvező szerkezetű (háromátlós), mely lehetővé teszi hatékony, igen gyors egyenletmegoldó algoritmusok használatát (ezeket az angol nyelvű szakirodalom double sweep módszernek, a magyar nyelvű irodalom faktorizációs, ritkábban üldözéses módszemek nevezi [Id. Bahvalov (1976); Cunge et al (1980)]. Következésképpen mind explicit, mind implicit sémák esetén a szükséges számítási műveletek száma minden időlépésben arányos az ismeretlenek számával (M): a teljes műveletigény tehát kb. M • N nel arányos. A módszer sarkalatos kérdése - természetesen a helyes differenciaséma megválasztásán kívül - a tér- és az időlépések, ill. ezek arányának helyes megválasztása. Durván szólva, nagy időlépés alkalmazása pontatlanságot okoz, sőt stabilitási problémákhoz is vezethet. Kis idő- és/vagy kis térlépés alkalmazása a szükséges számítási munkát növeli meg. A helyzetet csak bonyolítja az ún. numerikus diffúzió (diszperzió) jelenlét is, mely a legtöbb szokásos differenciaséma estén fellép, és konvekciódomináns esetében a megoldás pontosságát nagymértékben lerontja [Cunge et al (1980); Somlyódy et al (1985)]. Általában elmondható, hogy a térés az időlépést célszerű arra a legnagyobb értékre beállítani, mely mellett még a megoldás stabil és elég pontos, ugyanakkor a numerikus diffúzió még elviselhető: ekkor kapjuk az optimális számításigényt. Ezzel összevetve a (21) formula által adott kvázianalitikus megoldást, a következő megállapítások tehetők: 1. Szemben a végső differencia-módszerekkel, a kvázi-analitikus módszer azonnal a legvégső t=t N időpontbeli megoldást adja, melyhez szükségtelen a korábbi időszinteken a közelítő megoldás ismerete. 2. A kvázi-analitikus módszer mentes olyasféle numerikus diszperziótól, ami a véges differencia módszereknél fellép. Ugyancsak elmarad az explicit sémák instabilitásának problémája. 3. A kvázi-analitikus módszer nem igényel térbeli diszkritizációt: ennek szerepét az játssza, hogy a benne előforduló végtelen sort csonkítani kell egy előírt M tagszámig. Durván szólva, egy M tagú Fourier-sor kb. annyi információt ad egy, a [0, L] intervallumon értelmezett függvényről, mint amennyit egy M rácsponttal történő diszkretizáció. A közelítés pontossága egyébként nagymértékben függ a megoldás simaságától: általános irányelvként első közelítésre azonban mégis elmondható, hogy a Fourier-sorból kb. annyi tagot célszerű figyelembe venni, ahány ponttal lenne érdemes diszkretizálni az alapintervallumot. Minden egyes Fowrier-együtthatófüggvény kiszámítása a t=t N időpontban jV-nel arányos műveletszámot igényel, amint ez (25)-ből nyomban kitűnik. Ily módon (21) numerikus realizálásának műveletigénye attól függ, hogy hány x-pontban akarjuk u(t, x) értéket kiszámítani, és a Fourier-sot összegzésére milyen módszert választunk. Ennek megfelelően: - ha A/-tői függetlenül mindig csak kevésszámú, mondjuk K pontban szükséges a megoldást meghatározni, akkor a műveletigény M-N + K -M mel arányos, vagyis M-mel lineárisan nő; - ha a [0,1] intervallumot M egyenlő részre osztjuk, és mindegyik rácspontban szükséges a megoldás előállítása (mint az szokásos a véges differenciál módszerek esetében), akkor (21) közvetlen alkalmazásának műveletigénye M-N + M 2 tel arányos, vagyis M-mel kavadratikusan nő; - ez utóbbi esetben, ha a Fourier-sor összegzésére a gyors Fourier-transzformációs algoritmust [Henrid (1985)] használjuk, akkor a műveletigény csak M-N + M- logM mel arányos. Döntő különbség viszont a kvázi-analitikus módszer javára az, hogy itt N az a(t) peremfeltételi függvény szakaszonként lineáris közelítéséhez szükséges töréspontok száma, ami egy sor esetében sokkal kisebb lehet, mint a végesdifferencia módszerek alkalmazása esetén a szükséges időlépések száma. Szélsőséges esetben, ha a(t) függvény lineárisan változik (nemcsak szakaszonként), akkor ez leírható egyetlen törésponttal, azaz V=l-re vehető még akkor is, ha a t időtartam nagy: végesdifferencia módszerek esetén ekkor is nagyszámú időlépéssel kellene dolgozni, mégpedig annál többel, minél nagyobb a t idő. Megjegyzés: A (25) foMrí'er-együtthatófüggvények kiszámításának műveletigénye néha csökkenthető, azáltal, hogy (25) rekurzív módon is számítható, a következőképp: n(°> •. Pk ~ ck fj). = e-'„ • ('r'i-0. pfv _ a' + l Pl és ezekután Ck (j=l,-, N) PM=p ík ) Ha most történetesen a tj időpontok ekvidisztáns sorozatot alkotnak, akkor a rekurzió során mindig ugyanaz az e-'k * faktor lép fel (ahol Ar : = r, - t j A az időlépés), így azt elég egyszer kiszámítani: ennélfogva (25) kiszámítható egyetlen exponenciális függvényhívás alkalmazásával. Végezetül rámutatunk a kvázi-analitikus módszer legnagyobb hátrányára. A módszer ugyan nem generál numerikus diszperziót, de konvekciódomináns transzport esetén mégis nagy numerikus hibákkal terhelt: ennek oka a (21) egyenlőség jobb oldalán fellépő Cr e 20 faktor, mely igen szélsőséges értékeket vesz fel ha a C-L Pe D (26) Péclet-szám nagy. Ez a faktor a Fourier-sort szorozza,
