Hidrológiai Közlöny 1993 (73. évfolyam)
6. szám - Kontur István: A véletlen bolyongás és diffúzió
KONTÚR I.: A véletlen bolyongás és a diffúzió 375 eset, hogy a bizonyos jelzett molekulák éppen az egyik térfélen, bizonyos másikok éppen a másik térfélen legyenek, akkor leengedve az elválasztó lemezt, valóban szétválasztottuk a rendszert. Ez egyáltalán nem lehetetlen. Azonban a valódi tárgyak nem csupán 4-5 molekulából állnak, hanem milliószor, milliószor, milliószor ennyiből, amelyek külön-külön mind ilyen véletlenszerűen viselkednek. És ezért a természet irreverzibilitása nem is az alapvető fizikai törvények irreverzibilitásából fakad, hanem a természetnek abból a jellegzetes tulajdonságából, hogy, ha egy rendezett rendszerből indulunk ki, akkor a rendezetlen ütközések miatt a dolgok csak egy irányba fejlődhetnek. Vagyis a világban az a szabályszerűség figyelhető meg, hogy a dolgok a rendezettség állapotából a rendezetlenségbe fejlődnek. Mindazonáltal az a véleményem, hogy ez a véletlen: strukturált véletlen. Mindenképpen így kell, hogy ez legyen például a víz esetében, ahol, ha az elkeveredési jelenségeket tüzetesen megfigyeljük, látnunk kell, hogy ezek elsősorban a különböző örvények hatására jönnek létre és nem valamilyen a kinetikus gázelméletben elképzelt, teljesen véletlen mozgás következtében. (Bár azon sem csodálkoznék, ha itt is fölfedezhető lenne bizonyos strukturáltság.) A strukturált valószínűségi elmélet nem azt jelenti, hogy valamilyen ideálisnak elképzelt állapotra ráhalmozódik („elront") a véletlen, hanem egyrészt a véletlenek egymásrahalmozódásai hoznak létre valamilyen struktúrát, továbbá a gyenge kölcsönhatások révén a valószínűségszámítási szimmetriák (az egyik irányú és a másik irányú változás valószínűségének azonossága) fölborulnak és aszimmetriákat hoznak létre. Ez a strukturált valószínűségi analízis még nagyon kidolgozatlan. A turbulencia területén is csak most kezdődik az áttérés a homogén és izotróp turbulencia területéről valamely strukturált elemzésre. A valóság, a természet pontosabb megfigyelésére van szükség ehhez. Oda kell ismét ülni az áramló folyadék mellé a természetben és a laboratóriumban és mérésekkel újabb információkat szerezni a természet törvényeiről. Ezt nevezem én neorealista hidraulikának, illetve hidraulikai neorealizmusnak. Vissza a valósághoz! De most már sokkal nagyobb technikai felszereltséggel, műszerezettséggel, számítógépi háttérrel. A diffúziónak a különböző területein való alkalmazásakor fölmerül a kérdés, hogy amikor az árhullámok levonulására alkalmazzuk a diffúziós egyenletet, a Sant-Venant egyenlet linearizált formáját, akkor az ez esetben alkalmazott diffúziós tényező mennyire képzeletbeli, vagy mennyire van összefüggésben az áramlás sebességének valószínűségi eloszlásával? Van-e összefüggés az elkeveredés - tehát az anyagi részecskék tényleges mozgását leíró diffúzió - és az árhullám modellezésében alkalmazott diffúzió között? Alkalmazható-e a hidraulikai diffúziós egyenlet és az elkeveredés diffúziós egyenlete egyidejűleg, - úgymond egy lépésben? És ha igen, akkor ezt milyen diffúziós tényező jellemzi? Ilyen és hasonló kérdésekre szeretnénk választ találni. 3. A bolyongás és a diffúzió kapcsolata Ebben a pontban W. Feller: „Bevezetés a valószínűségszámításba és alkalmazásaiba" könyve alapján indulunk el. A bolyongás valószínűségszámítási alkalmazása, az egyes feladatok visszavezetése bolyongási problémákra igen elteijedt: a rekurrens események, a tönkremenés és felújítás kérdései tárgyalhatók ezen az alapon, de a valószínűségszámításnak szinte minden területével megtalálható a kapcsolata a nagy számok törvényétől az urna modellekig. Ebben a pontban diszkrét idő paraméterű folyamatként fogalmazzuk meg a problémát, ugyanezek az eredmények elérhetők az általános sztochasztikus folyamatok, A/arfov-folyamatok elmélete alapján is. Tehát ebben a részben legyenek a lépések ö hosszúsága kicsi és a lépések időben olyan gyorsan követik egymást, hogy az eredményül kapott változás gyakorlatilag folytonosnak tekinthető. A határátmenet Weiner-folyamatra (Brown-mozgás) és más diffúziós folyamatra vezet. Az ilyen típusú folyamatok és a bolyongások közötti szoros kapcsolat nagyban elősegíti mindkettő jobb megértését. Éz a megközelítés termékeny eredményre vezetett például L. Bachelier az itt ismertetett módszert heurisztikusán bár, de teljes mértékben kiaknázta 1912-es munkájában, és az ő munkája ösztönözte N. A. Kolmogorovot arra, hogy a Markovfolyamatok elméletét formálisan is megalapozza. A probléma mind a matematika, mind a fizika nyelvén megfogalmazható. Fogalmazzuk meg a bolyongást a következőképppen: a részecske minden időpillanatban léphet p valószínűséggel jobbra egyet, vagy q valószínűséggel balra egyet, (p + q = 1, tehát más választás nincsen.) Legyen S n = X! + x 2 + ... + X D vagyis az S„ valószínűségi változó n számú független, a + 1 és -1 értéket p és q valószínűséggel felvevő valószínűségi változó összege. Ezért S m várható értéke: E{S n} = (p-q)n és S n szórásnégyzete: D 2{S n} = 4 • p • q • n. A továbbiakban már nem az S n, hanem a ŐS n változót vizsgáljuk, ahol ö az egyes lépések nagysága, akkor E{öSJ = (p-q)ön és D 2(ŐS n) = 4pqÖ 2n. A Brown-mozgás vizsgálata során a folyadékban véletlenszerűen mozgó, lebegő részecskéket látunk és természetes módon vetődik fel a kérdés, hogy a mozgás tekinthető-e úgy, mint a folyadékban lebegő kisebb részecskék nagyszámú ütközéseinek eredménye. Természetesen erősen leegyszerűsítő feltevés, hogy az ütközések időben egyenletesen történnek, és hogy minden egyes ütközés pontosan + ö, -ö nagyságú helyváltoztatást eredményez. Tegyük fel, hogy egy megfigyelésből az időegységenkénti helyváltoztatás várható értékére c, szórásnégyzetére D értéket kapnak. Akkor az ismeretlen ütközések számát r-rel jelölve: c = (p-q)őr és D = 4pqő 2r Vizsgáljuk meg a
