Hidrológiai Közlöny 1993 (73. évfolyam)
6. szám - Kontur István: A véletlen bolyongás és diffúzió
376 HIDROLÓGIAI KÖZLÖNY 1993. 73. ÉVF., 1. SZÁM V M = P{S n = k} valószínűséget, ahol V k> D azt jelenti, hogy a bolyongás n. lépésében a részecske a k helyen van. Azt akaijuk tudni, hogy a bolyongó pont mekkora valószínűséggel lesz egy adott t időpillanatban egy adott x pont környezetében. Vagyis V M aszimptotikus viselkedésére vagyunk kíváncsiak, ha és «-»» úgy, hogy közben n/r—»t és kö-»x. Áttérve a határátmenetre a Moivre-Laplace tétel alapján azt kapjuk, hogy 1 2b fyn+khnp) 2 CX P Inpq ] = , exp rJ^^-1 V2SÖF CXP I 2Dt J ugyanakkor V t„ annak a valószínűsége, hogy S„ö a kö és a kó + 26 határok között van: mivel ez egy 2ö hosszúságú intervallum, ezért a V t n/(26) az egységnyi hosszúságra jutó valószínűség ezen a helyen, vagyis a sűrűség: V( ty X) = 1 V2kDÍ exp [(x-ctf 2Dt a diffúziós egyenlet jól ismert megoldása, ahol is az x = ct várható érték és o 2 = Dt. A differencia egyenleten alapuló módszer alapján Vk,n +1 = P * Vk-l,n + q • V k+ 1, n Ezt 2ö-val osztva és felhasználva előbbi eredményünket: V(t+r,x) = p • V (t,x -b) + q • V (t,x + ö) Mivel V deriváltjai folytonosak, ezért a tagok Taylor sorba fejthetők. A bal oldalt az elsőfokú tag, a jobb oldalt a másodfokú tagig Taylor sorba fejtve (miután az első tagok kiesnek, azt kapjuk, hogy): dVjts ) , . . . dV(tj ) 1, 2 J 2V(ts) 1 ; = (<hP) • ö • r—^f* + • r + ... dt dx A határértékre való áttérés során az elhanyagolt tagok zérushoz tartanak és így ms ) , svitjc ). i n rvjtjc) = —C + — D =— dt dx 2 dx 1 (1) Ez egy speciális diffúziós egyenlet, mely FokkerPlanck-íélt diffúziós egyenlet néven ismert. A bolyongással kapcsolatban érdemes még fölidézni néhány matematikai tételt, Rényi könyve alapján, amelyek alapvető kiindulást képeznek. (Rényi 1968). Pólya György híres tételei 1921-ből: amelyek a bolyongási feladatokkal kapcsolatosak az alábbiak: 1. Annak valószínűsége, hogy a G r rácson bolyongó pont a kezdeti helyzetébe végtelen sokszor visszatérjen, r=l, és r=2 esetén eggyel egyenlő, r ^ 3 esetén pedig nullával. A bizonyítás a Borel-Cantelli lemma felhasználásával végezhető el (Rényi, 1968). A fenti tétel tehát azt mondja ki, hogy egy és két dimenizóban a véletlen bolyongás olyan, hogy a kiindulási pontra végtelen sokszor visszatér. Ezzel szemben három dimenzióban való bolyongás esetén ez a végtelen sokszori visszatérési valószínűség a nullával egyenlő. A tételben G, - r dimenziós euklideszi tér rácspontjainak halmaza. A bolyongás a rácspontokon úgy értelmezendő, hogy ha a t=n időpontban a vándorló pont valamely rácsponton található, akkor a t=n+l időpontban valószínűséggel található valamely szomszédos rácsponton. Egy dimenziós bolyongás esetén ^ valószínűséggel léphet jobbra és ^ valószínűséggel balra. Síkbeli bolyongás esetén ^ valószínűséggel jobbra, illetve balra, és ^ valószínűséggel előre és hátra, míg a térbeli bolyongás esetén 7 valószínűséggel jobbra, illetve balra, \ valószínűséggel előre és hátra és 6 1 — valószínűséggel fel, illetve le, ha az euklideszi tér 6 koordinátáit jobb-bal, előre-hátra, fel-le jelöléssel látjuk el. 2. Ha r < 3, akkor a G r-en bolyongó pont 1-nél kisebb valószínűséggel tér vissza kezdeti helyzetébe. Tehát a három dimenzióban is lehet visszatérés a . kezdeti pontba, de ennek valószínűsége kisebb mint 1 és az előző pont szerint a végtelen sokszori visszatérés valószínűsége pedig zérus. A két tétel tehát egymással összhangban van. (Zárójelben jegyzem meg, hogy bennem ez a három dimenzióban való egynél kisebb valószínűségű visszatérés a Világegyetem tágulása valószínűségszámítási alátámasztásának képzetét kelti.) 3. Jelölje |ii, fi 2, ••• ••• azokat az időpontokat, amikor az egyenesen bolyongó pont a kezdő állapotába visszatér, azaz amikor a S^ = 0, akkor x > 0 esetén lim <*) = 2(l-*I>(-7=)) k-»+00 11 2 V* ahol $ - a normális eloszlás sűrűségfüggvénye. Ez a tétel az egyenes vonal menti bolyongásra vonatkozik, és S n értéke a +1, -1 értéket fölvevő X n valószínűségi változók összege: n S n = 2 X k k-1 A 3. tételt másképpen megfogalmazva. Jelölje 0 n az Si, S 2 ... S n sorozatban szereplő nullák számát (S n — ott lesz nulla, ahol a bolyongó pont trajektróriája átmetszi a zérus tengelyt) akkor •gy P((i k < n) = P (9 n 2: k) .. , r2$(yH, hay>0 n l.m PH=*y)-\ Q külftnbe n tehát határeloszlása megegyezik egy standardizált normális eloszlású valószínűségi változó abszolút értékének eloszlásával. Jelölje n„ az Si, S2, ... S n sorozatban a pozitív elemek szamat, ahol Sj =0-át pozitívnak számítjuk, ha S H > 0 volt és negatívnak, ha Sj. x < 0 volt (Ezek a
