Hidrológiai Közlöny 1993 (73. évfolyam)

6. szám - Kontur István: A véletlen bolyongás és diffúzió

374 HIDROLÓGIAI KÖZLÖNY 1993. 73. ÉVF., 1. SZÁM foglalkoznak, s eközben többnyire nem törődnek azzal, hogy ténylegesen miről is beszélnek. Nincs is szükségük erre, vagy - ahogy ők mondják - nem törődnek azzal, hogy állításuk megfelel-e a valóságnak. Ez így homályosnak tűnhet, de rögtön megmagyarázom, hogy gondolom ezt. A matematikus axiómákat állít fel: „ez és ez", így van, „az és az" úgy van. És azután? Ezután tisztán logikai úton különféle következtetésekre juthat anélkül, hogy tudnia kéne, hogy az „ez és ez" szavak valójában mit is jelentenek. Ha az axiómákat elegendő gondossággal és teljességgel fogalmazták meg, akkor az, aki dolgozik velük, az egyes szavak jelentésének ismerete nélkül is felállíthat új tételeket - persze az eredeti axiómákkal azonos nyelven. Vagyis: ha például valamelyik axiómában a „háromszög" szót használja, a levezetett tételben is a megfelelő helyen a „háromszög" szónak kell szerepelni - de hogy valójában mi az a háromszög, nem kell tudnia. Én azonban visszafelé is olvashatom az okfejtést és mondhatom: a háromszög, egy három oldal határolta valami, ami ilyen és ilyen - és akkor már értem a következtetést. Más szavakkal: a matematikusok olyan általános és elvont gondolkodási témákat dolgoznak ki, amelyek bármikor felhasználhatóak, bármely - a valóságból vett - axiómarendszerből kiindulva is. A fizikus minden mondatának kell, hogy jelentése legyen. Ez egy nagyon lényeges dolog, amit gyakran figyelmen kívül hagynak azok, akik a fizikát a matematika oldaláról közelítik meg. Pedig a fizika nem matematika, mint ahogy a matematika sem fizika. Elengedhetetlen, hogy eredményeinket végül hétköznapi nyelven is ki tudjuk fejezni - például, következtetéseink rézre vagy üvegre vonatkoznak, amelyekkel mindjárt a kísérleteket is elvégezhetjük. Mert ez az egyetlen módja annak, hogy következtetéseink helyességéről meggyőződjünk. És ez már egyáltalán nem matematikai jellegű probléma." Kitűnik természetesen Feynman fejtegetéséből, hogy ő inkább fizikus, de véleménye mindenképpen helytálló. És úgy érzem ebben nincs másról szó, mint a valóság - modell kapcsolatáról, ahol a valóság alatt a fizikai jelenségek, modell alatt annak matematikai (égi) mását képzeljük. így ír tovább Feynman: „Ha az ember tudja, hogy miről beszél, hogy bizonyos szimbólumok erőt jelentenek, mások tömegeket, tehetetlenséget, és így tovább, akkor mindig használhatja a józan eszét és ösztönös megérzéseit. Mert különféle dolgokat látott már, és többé-kevésbé tudja, hogy a jelenségeknek miképp kell viselkedniük. De szegény matematikusok mindezt az egyenletek nyelvére fordítják le, és mivel számukra a szimbólumok nem jelentenek semmit, nincs ilyen vezérfonaluk, és csak a teljes matematikai szigorúsággal és precizitással érvelhetnek. A fizikus azonban, aki többé, kevésbé tudja, milyen választ vár, különféle feltevéseket tehet, amelyek révén hamarább célhoz ér. A nagy pontosságra törekvő szigorú matematikai okoskodás nem túl hasznos a fizikában. De mégsem róhatjuk meg ezért a matematikusokat. Azért, mert nekünk másra volna szükségünk, nekik még nem kelj ,'gy dolgozniuk, hogy az nekünk tessék. Végül is ők csak a saját munkájukat végzik. Ha valami mást akarunk, csak tessék, magunk is megcsinálhatjuk." Igen, a valóságban még benne van a teljesség, de a modell az csak a tudatunk alkotta másság. Rabok vagyunk. A gondolkodásnak, a gondolkodási struktúrának rabjai vagyunk. A platóni barlang falára mi magunk rajzoljuk fel ideáinkat, és téveszméinket. Ami a diffúzió matematikai leírása megfogalmazásának (2/a) és (2/b) esetét képezi, az csak szemléletmód. A determinisztikus és sztochasztikus kategóriák csak a mi fejünkben léteznek. És a diffúzió az a témakör, ahol talán a legnyilvánvalóbban bemutatható az azonosság. A modell és valóság megkülönböztetésére néha finomabb körülírásokat kell tennünk: így például amikor Brown mozgásról beszélünk, akkor jó, ha tisztázzuk azt, hogy az alatt molekuláris részecskéknek a természetben lezajló hőmozgásból adódó cikázását értjük-e, avagy ennek valamely modelljét. Hiszen a Brown mozgás különböző modelljei által leírt mozgást is Brown mozgásnak hívjuk. A diffúzió fizikai képe az irreverzibilitással és az entrópia fogalmával is szorosan összefonódott. Az irreverzibilitás és az entrópia fogalma pedig az idő megfordíthatalanságának - egyirányúságának - bizonyítéka, vagy oka. Lássunk egy egyszerű példát, ismét Feynman példáját követve tételezzük fel, hogy egy tartály egyik oldalán tintával festett kék víz, a másikban tiszta átlátszó fehér víz van, egymástól egy lappal elválasztva. Húzzuk ki ezt a lapot nagyon óvatosan és váljunk egy kicsit Azt fogjuk tapasztalni, hogy a kék és tiszta víz összekeveredik. És bármilyen soká várunk és figyelünk, az oldat nem fog magától szétválni. Az egész folyamatot filmre véve, felnagyítva azt látjuk, hogy rendezetlen összevissza mozgást végeznek az atomok. Most válasszunk ki a képből egyetlen ütközést és vizsgáljuk meg közelebbről! Azt látjuk, hogy az atomok az egyik irányból érkezve összeütköznek, majd egy másik irányban szétpattannak. Most forgassuk le ezt a részletet visszafelé: most a másik irányból érkező atomok szóródnak az előző irányba. Azt kell tehát mondanunk, hogy mindez rendben van és összhangban áll a fizika törvényével. Ez tehát külön-külön megfordítható. És mégis összességében a megfordítás lehetetlen. Láthatjuk, hogy az irreverzibilitást a véletlenszerű változásck okozzák. Ha egyenletes eloszlásból indulunk ki és azt engedjük véletlenszerűen változni, az nem fog szétválni. Bár megtehetné. Nem mondana ellene a fizika törvényeinek, hogy az összekeveredett rendszer ismét szétváljon. Ez nem lehetetlen, csupán nagyon valószínűtlen: millió év alatt egyszer sem történnék meg. És ez a válasz ahogyan Feynman íija: A dolgok abban az értelemben irreverzibilisek, hogy az egyik irányban nagy valószínűséggel mennek végbe, míg a másik irányba - bár lehetséges lenne, mert a fizika törvényei nem tiltják - még egymillió év alatt sem mehetnek végbe számottevő valószínűséggel. Éppen ez az a valószínűség, amely alapján a Boltzman-féle 9Í - elmélet valószínűségi alakra való átfogalmazására volt szükség, hogy a Loschmidt-lé\e. irreverzibilitási és a Zermelo-féle paradoxonokat ki lehessen kerülni. Néhány molekulából álló rendszernél nem szükséges több millió év azt kivárni, hogy előforduljon az az