Hidrológiai Közlöny 1993 (73. évfolyam)

6. szám - Kontur István: A véletlen bolyongás és diffúzió

KONTÚR I.: A véletlen bolyongás és a diffúzió 373 ben az Ecoles Normales-tn tartott előadásainak a kibővített változata. Az évszámok mögött Franciaország történetének gazdagon szélsőséges periódusa húzódik meg, s ez Laplace valószínűségszámítási műveiben is tükröződik. Laplace ezen „társadalmi turbulanciák" között alkotott kiválókat. Erre vonatkozik dr. Jonson kijelentése „Uram: ha egy ember tudja, hogy két hét múlva föl lesz akasztva, akkor az agya csodálatosan koncentrál". A történelemhez még hozzátartozik, hogy Laplace háza 1925-ben leégett és sok dokumentum odaveszett, majd 1944-45-ben bombázások áldozata lett. Az időben való ezen kis „véletlen bolyongással" zárjuk a bevezetőt, hogy a diffúzió témakörében további véletlen kirándulásokra invitáljuk az Olvasót. 2. A diffúzió jelentései A diffúzió szó kiejtésekor igen sokféle jelentéstartalmat gondolhatunk. Ahogy ezeket a jelentéstartalmakat megpendítjük, kifejtjük, rögtön más és más területen járunk. Bár biztos, hogy nem véletlen a szó-azonosság és a jelentésmódosulás valamilyen közös tartalmat takar. Ennek fölfedése lehet az egyik cél, abból a szempontból, hogy a különböző alkalmazási területek minél többet nyerjenek ezekből a párhuzamosságokból. A diffúzió jelentésmódosulásait (affekcióit) én a következő területekre bontom: 1. Diffúzió mint valós, természeti, faikai folyamat: az anyag, az energia szétterjedési folyamata; a természetben lezajló kiegyenlítődési folyamatok hatására létrejövő áramlások: az intenzívek különbségéből adódód extenzívek árama. Ezen valós, fizikai diffúziós folyamathoz tartozónak tartom a turbulencia jelenségét is, ami nem más mint a potenciál (energia) kiegyenlítődése következtében lezajló energia átalakulása és anyagtranszport: 2/a A diffúzió matematikai megfogalmazása a kontinuum mechanikában, vagy a hővezetésben, az úgynevezett diffúziós egyenlet, amit vektoros formában írva: — = div (D grad c) illetve: — = DAc dt y ' dt ahol A a Laplace operátor, áramló közeg esetén d c — = D • A c - div(c • v) a t ahol v — az áramló közeg sebesség vektora (c-vel egy általános koncventrációt jelöltünk). A háromdimenziós felírás természetesen lecsupaszítható az egy dimenziós parabolikus differenciálegyenletté, vagy operátorrá: d a

2_ dt'dx* c°dx ahol c

0 - az x irányú hullámsebesség. A mechanikai rendszerekre való felírás, vagy mondjuk így, a diffúzió determinisztikus megfogalmazása általában a hővezetéssel kapcsolatban jön elő és általában ott is szokás tárgyalni (1967). A diffúziónak valószínűségszámítási leírása is a mechanikából indult el éppen a Brown mozgás, a hő diffúziós folyamatával kapcsolatban és már a múlt század végén Maxwell és Baltzmann megfogalmazott. 2/b A valószínűségszámítási matematikai megfogalmazásban az általános d dimenziós diffúziós folyamat esetén, ha léteznek és folytonosak a dp. d (fi(t,y)p

) & d\b^t,y)p) dt' dyi C

S dyidyj deriváltak, akkor rögzített s-re és x-re (sgt mellett) a p(s, x, t, y) átmenetsűrűségfüggvény alapmegoldása a t+l^-áié*,^0 m\ egyenletnek, amit szokás Kolmogorov féle „előre" egyenletnek, vagy másképpen Fokker-Planck egyenletnek is nevezni. Ahol /-et a folyamat drifvektorának a bjj számokból alkotott d méretű mátrixot (B) a folyamat diffúziós mátrixának szokás nevezni. A B (s, x) mátrix szimmetrikus és nemnegatív definit. A fenti felírásban s és t az időparaméter (s < t mellett) x és y valószínűségi változó. A diffúziós folyamatok lényegében olyan folytonos realizációjú Marlcov folyamatok, amelyek a fizikai diffúziós jelenségeinek leírásához valószínűségelméleti modellként szolgálnak, továbbá megállapíthatjuk, hogy a sztochasztikus differenciálegyenletek megoldásai és a diffúziós folyamatok - teljesen eltérő definíciójuk ellenére — lényegében ugyanazt a folyamatosztályt írják le (Arnold 1984). 3. Harmadik affirmációként a számítások során fellépő ún. numerikus diffúziót kell tekintetbe venni. Ez is diffúzió, de ez már csak egy számítási sémából, a számítási technikából, a matematikailag fölírt egyenletek ilyen-olyan közelítéséből adódik. Az elvi-gondolati-modellezési sémában ez nem okozna problémát, ha nem vennénk tekintetbe a számítások gyakorlati - számítógéppel - való végrehajtását. Ezek az ún. numerikus diffúziók általában a folytonos fölírások diszkretizálásával lépnek föl: a folytonos függvények diszkrét pontokon való közelítésével az interpolációk véges hossza, a differenciálhányadosokra fölírt Taylor sor tagjainak véges számú elemének az alkalmazása hozhat be ilyen hibákat. Ezt nevezhetjük matematikai modellből algoritmussá transzformálás során előálló diffúziónak (3/a). De még kell egy további, a számítás fizikai véghezviteléből adódó diffúzióval is számolni, ami a számítógép jellemzőitől függ: számábrázolás, gyengén meghatározott egyenletek, konvergencia stb., ez talán (3/b) alatt foglalható össze. Tehát a diffúzió kifejezést, mint látjuk (1), (2/a), (2/b), (3/a), (3/b) vonatkozásában is használjuk. S mindez összefügg egymással, de mindig világosan körül kell határolni, hogy miről van szó. Az (1) és (2) csoport között van a leglényegesebb „ugrás" a valóság és a modell dichotómiája. Ami úgy jelenik meg, mint a fizika és a matematika dichotómiája. Richárd Feynman: „A fizikai törvények jellege" című művében így ír erről. „A matematikusok a logikus .gondolkodás és következtetés általános szerkezetével