Hidrológiai Közlöny 1993 (73. évfolyam)

6. szám - Kontur István: A véletlen bolyongás és diffúzió

372 HIDROLÓGIAI KÖZLÖNY 1993. 73. ÉVF., 1. SZÁM A véletlen bolyongás és a diffúzió A vízben terjedő oldott anyagok-szennyezések, hővel befolyásolt térfogatok stb.-mozgása, elkeveredesea vizek védelmének egyre fontosabbá válása idején nemcsak az elméleti kutatásnak, hanem a gyakorlatnak is lényeges kérdésévé vált. A tanulmány a diffúzió szakirodalmának széles köréből válogatva mutatja be a diffúziós jelenség leírásának valószínűségi felfogását. Különös figyelmet szentel a vízépítésben használatos diffúziós összefüggések elemzésének, valószínűségi modelleknek hidraulikai folyamatokhoz történő rendelésével. E valószínűségi modellek szemléletileg is új megvilágításba helyezik a diffúziós hullámmodellek kezelését. Diffúzió, valószínűségszámítás, sztohasztikus hidraulika. Kontúr István Budapesti Műszaki Egyetem Vízgazdálkodási Tanszék 1111 Budapest, Műegyetem rakpart 3. Kivonat: Kulcsszavak: 1 Bevezetés A diffúzió folyamatának összekapcsolása a véletlen bolyongással nem új keletű. A pollen szemcsék véletlenszerű mozgásának megfigyelését R. Brown 1827-ben regisztrálta és később ennek a mozgásnak a leírására egészen gazdag irodalom fejlődött ki az ún. Brownmozgás sztochasztikus modelljei. Először Einstein 1905-ben adta meg a matematikai megfogalmazását; a folyadékban lebegő részecskék rendezetlen mozgása és a diffúzió közötti kapcsolatot. Továbbá Erenfest házaspár és Uhlenbech munkáját lehet említeni ezen a területen. A diffúziónak mint valószínűségi jelenségnek a története még távolabbra nyúlik, tulajdonképpen a diffúzió Bernuolli-Laplace-ié\t modelljéig, amelynek megfelelő urnamodellt Dániel Bernoulli 1769-ben vizsgált. Eredményeit Malfatti 1782-es bírálata nyomán 1812-ben Laplace részletes vizsgálat tárgyává tette. A diffúziónak a fizikai folyamattal való kapcsolata a kinetikai gázelmélet megjelenésével (Krönig 1856) teljesedett ki, úgy hogy rögtön valószínűségi segédeszközöket alkalmazott (Boltzmann-íé\t eloszlás 1876, Boltzmann-féle X elmélet 1872). A valószínűségi leírások fejlődése a sztochasztikus folyamatok, a Markov-folyamatok elméletével gazdag tárházát adja a valószínűségi leírásnak. A Poisson folyamatok a jelenségek igen széles körét képesek leírni. A születés-halálozási folyamat mint diffúziós folyamat W. Feller 1959-es cikkében szerepel. A sztochasztikus folyamatok lehetnek diszkrét paraméterűek, vagy folytonos paraméterú'ek, annak megfelelően, hogy az időt diszkrétnek, vagy folyamatosnak vesszük föl. A bolyongás problémája természetesen fölírható diszkrét és folytonos paraméterű sztochasztikus folyamatként. A Brown-mozgás leírására Langevin (1908) alkalmazta a sztochasztikus differenciálegyenlet megoldását. A differenciálegyenlet megoldása során fellépő integrál éppen a Wiener folyamattal azonosítható. A Magyar Hidrológiai Társaság 1987-ben rendezett ..Diffúzió a hidrológiában és hidraulikában" c. ankétján elhangzott előadás kibővített, átdolgozott szövege. A bolyongás problémáját először Kari Pearson fogalmazta meg 1905-ben. Lord Rayleigh észrevette, hogy ez a probléma formálisan azonos az általa 1880ban megfogalmazott egymásra szuperponálódó rezgések felbontása kérdésével. A bolyongás valószínűségszámítási elméletét először A. A. Markov dolgozta ki 1912-ben. A diffúzióval és a Brown-féle mozgással való kapcsolatára M. v. Smoluchowski mutatott rá 1916ban. A valószínűségszámítás oldaláról N. A. Kolmogorov (1933)-as könyve jelentette a további előrelépést. Jellemző Kolmogorov érdeklődésére a valószínűségelmélet hidrodinamikai alkalmazása iránt; 1941-ben megjelent cikkei a turbulencia irodalmában Kolmogorov hipotézisek az energiaspektrum címszó alatt alapvetőek. A valószínűségszámításunk mintegy 300 éves történetében az első mérföldkő Jacob Bernoulli: ,Ars Conjectandi" (1713) eredeti latin kiadása volt, amelyet számos élő nyelvű fordítás követett. Egyik újrakiadása az 1899-es Ostwald féle Klasszikusok sorozatban található (Ostwald's Klassiker der exakten Wissenschaften", No. 107, No. 108 Withem Engelman, Leipzig 1899). Bernoulli könyvének kiadását éppen 50 évvel követte Tliomas Bays „Eassy towards solving a problem in doctrine of chance" művének kiadása 1763-ban Richárd Price posthumus megjelentetésében a Philosopical Transaction, Royal Society-ben (Vol. 53). Bayes Esszéje a Biometrika 1958-as számában (Vol. 45) látott ismét napvilágot. 49 évvel Bayes tanulmánya után 1812-ben, a napóleoni seregek oroszországi összeomlásának évében jelent meg a Francia Akadémia kiadásában Pierre-Simon de Laplace könyve: „Théorie analytique des probabilités", amely bizonyára nemcsak Franciaországba jutott el. A mintegy 500 oldalas eredeti művet 1814-ben újra kiadták, de Laplace 1813-ban egy 153 oldalas „Introduction"-t, bevezetőt írt a „Théorie analytique..." elé „Essai philosophique sur les probabilités" címmel. Az „Essai philosophique"-t újra kiadták angolul 1951-ben. Természetesen a fordítások nem adhatják vissza Laplace elegáns szép nyelvezetét. Az 1814-es megjelenésű „Essai philosophique" 1795-