Hidrológiai Közlöny 1993 (73. évfolyam)

6. szám - Szél Sándor–Gáspár Csaba: A Muskingum-Cunge eljárás felülvizsgálata és továbbfejlesztése

352 HIDROLÓGIAI KÖZLÖNY 1993

. 73. ÉVF

., 1

. SZÁM Megjegyzés: a í> függvény numerikus kiszámítására gazdaságos, egyszersmind elég pontos algoritmusok léteznek (.Press et al, 1986), melyekkel a fenti kifejezés kiértékelhető. 1. példa: Tekintsük az (1) egyenletet a következő paraméterek mellett: C = 2 m/sec D = 10 000 m

2/sec A = 200 000 m (teljes szakasz-hossz) A kezdeti feltétel legyen azonosan zérus, a felső peremfeltétel pedig a 0 időpillanatban induló egységugrás (így a pontos megoldás (31) alakú). A közelítő megoldás során alalmazzuk a A/ = 1000 sec tsx = 1000 m idő- ill. térlépéseket. Ilyen választás mellett Cr = 1 és Pe = 0.1. Vizsgáljuk az (5) sémával adott numerikus megoldást: az együtthatókat a (13) feltétel érvényesítése miatt a (14) formulák adják. A (28) erős stabilitási feltétel teljesül. A numerikus és az analitikus megoldást a r=40 000 sec időpillanatban az 1. ábra mutatja: látható , hogy a számítás igen jól illeszkedik a pontos megoldáshoz. A (13) feltétel egyszerű következménye, hogy ha az e súlyozóparamétert szokásos módon 0.5-nek választjuk, akkor © paraméterre a (-4,5) érték adódik. (Sőt, akárhogy is válaszjuk meg e-t a [0,1] intervallumban © mindig negatív lesz.) Ha ehelyett - avégett, hogy a © paraméter, úgymond, „korrekt" értékű legyen -a ©:=0 választással élünk, a közelítés pontossága látványosan elromlik (az 1. ábrán vékony folytonos vonal). A Q>0 esetek még rosszabb közelítést adnak, ©>0,5 esetén pedig instabilitás is fellép. A jelenség annak következménye, hogy amint az (13)-ból azonnal adódi, az e:=0,5, ©:=0 paraméterválasztás esetén a numerikus megoldás nem a megfelelő pontos megoldást approximálja jól, hanem azt, amely a Pt= 1 értékhez tartozik, tehát kisebb diszperziós tényezővel bír. Más szóval a fenti paraméterválasztás mellett a séma numerikus diszperziója nem éri el a fizikai diszperzió mértékét. Ez a Q:=-4,5 választással küszöbölhető ki (méghozzá instabilitás veszélye nélkül: a (28) egyenlőtlenségek ui. nyüván kielégülnek). Mivel a Péclet-szám kicsi, a (16) feltétel most nem elégíthető ki, amely a magasabb rendű közelítést biztosítaná: mindazonáltal, mivel a megoldás elég sima, a (ll)-beli másodrendű hibatag elég kicsi ahhoz, hogy észrevehető numerikus oszcilláció nem lép fel. 2. példa: Legyen a kezdeti és a peremfeltétel ugyanaz, mint az 1. példában: a paraméterek legyenek most a következők: C = 2 m/sec D = 250 m

2/sec A = 200 000 m At = 1000 sec A* = 1000 m A változás tehát egyedül a diszperziós tényező jelentékeny csökkentése, ami a transzportot konvekciódominánssá teszi: most Pe=4, következésképp (16) feltétel most kielégíthető, ami a Cr = 0,9013 Couram-számot eredményezi. — analitikus megolaás • numerikus meqolaás különböző 0 súlyozóparaméterek mellett. —— analitikus neqalaás • numeriKjs neqolaás numerikus neqolaas Cr - 5 mellet: SD 100 150 200 * 2. ábra. Analikus és numerikus megoldások a 2. példára, különböző Courant-számok mellett. Az analitikus és a numerikus megoldás (ismét a t=40 000 sec időpont mellett) a 2. ábrán látható: az illeszkedés ismét igen jó. E példánál jól kimutatható a numerikus oszcilláció hatása, ha a fenti optimális Courant-számtól eltérünk. Ha pl. Cr:=5 választással élünk, akkor ez a numerikus megoldásban a fronttól balra eső részben oszcillációt okoz (a 2. ábrán vékony folytonos vonal). Az optimálisnál kisebb Courant-számok, pl. Cr.= 0,5 esetén a fronttól jobbra lép fel hasonló, bár jóval kisebb mértékű oszcilláció (az ábrán nincs feltüntetve). Nincs észrevehető oszcilláció, ha a Courantszámot csak kismértékben változtatjuk meg, úgy, hogy a (28) erős stabilitási feltételek még teljesülnek. Megjegyezzük, hogy a (28) feltétel megsértése esetén sem alakul ki valódi instabilitás (vö. a (29) utáni megjegyzéssel). Megjegyzés: A fenti optimális Courant-szám most sem kapható meg a © súlyozóparaméter nemnegatív megválasztásával, ha e-t l-nek választottuk: ehhez ui. (13) alapján a ©=-0,0757 negatív érték tartozik, ami a szokásos Muskingum-Cunge-sémában nem megengedett. Ha a 0 időpontra koncentrált Dirac-impulzust alkalmazunk peremfeltételként, akkor a Courant-szám változtatásának a numerikus oszcillációra gyakorolt fenti hatása még jobban megfigyelhető. Ezt szemlélteti a 3. példa: A transzport legyen méginkább konvekció-domináns, a következő paraméterekkel: C = 2 m/sec D = 150 m

2/sec A = 100 000 m