Hidrológiai Közlöny 1993 (73. évfolyam)

6. szám - Szél Sándor–Gáspár Csaba: A Muskingum-Cunge eljárás felülvizsgálata és továbbfejlesztése

SZÉL S. - GÁSPÁR CS.: A Muskingum-Cunge eljárás 353 0,0002- " i •> « A: / • / V V x 25 \ X " 75 üű 3. ábra. Különböző Courant-számok melletti numerikus megoldások a 3. példára. At = 1000 sec Ar = 1000 m A numerikus megoldások a f=30 000 sec időpontban különböző Courant-számok mellett a 3. ábrán láthatók. Az optimális Courant-szám most Cr = 0,9656. Megfigyelhető, hogy ennél az optimálisnál nagyobb Courant-szám nemcsak oszcillációt, hanem fázishibát is okoz: a numerikus megoldás ,késik" az analitikushoz képest (a 3. ábrán szagatott vonal). Az optimálisnál kisebb Courant-szám ellenkező értelmű fázishibát okoz (az ábrán pontvonal). Összefoglalás Jelen tanulmány eredményeit összefoglalva a következő megállapítások tehetők. A Muskingum-Cunge eljárás alkalmazása esetén ahelyett, hogy a tér- és időbeli súlyozó paramétereket (e és 0) külön-külön definiálnánk, arra törekedve, hogy mindketten 0 és 1 közé essenek, elegendő a (13) feltétel megkövetelése a súlyozóparaméterek vonatkozásában: azaz alkalmazható az (5) algoritmus a (14) képletekkel számítandó együtthatók felhasználásával. E formulák a súlyozóparamétereket explicite már nem is tartalmazzák. Ha az e paraméter értékét előre megkötjük (pl. e=0,5), akkor a (13) feltételből 0-ra akár nagy negatív számérték is kiadódhat, anélkül azonban, hogy ez a tény a séma használhatóságát elrontaná. A séma pontossága tovább javítható, ha a (16) feltétel teljesítésével kiküszöböljük a másodrendű hibatagot (a numerikus oszcillációt). Ezt csak konvekció-domináns transzport esetében lehet elérni, pontosabban, ha Pe

2 > 3. A (16) feltétel megsértése numerikus oszcillációt, valamint fázishibát okoz. A séma feltételesen stabil, a stabilitásra elégséges feltételeket vezettünk le [ld. (28), (29)]. Ezek teljesülése esetén az eljárás egy nagyon erős értelemben stabil marad [ld. (23)]: ezen feltételek megsértése ugyanakkor még mindig nem okoz kifejezett instabilitást, csak több-kevesebb numerikus oszcillációt (feltéve, hogy a C sebességi tényező pozitív, és természetesen azt is, hogy (13) mindig teljesül). A Muskingum-Cunge-séma fentebb bemutatott változata mindenképpen hasznos segédeszköz lehet az egydimenziós vízmozgás és szennyezőanyag-transzport számítása során gyorsasága és egyszerűsége miatt, amennyiben a jelentős alvízi visszahatások a modellezendő folyamatokat lényeges mértékben nem befolyásolják. Ilyen feltételek között jól alkalmazható összetett vízminőségi modell impulzustranszport-, valamint szenynyezőanyag-transzport almodellként. A számítási eljárás kézenfekvően módosítható inhomogén sebesség-, és diszperzióeloszlás eseteire is. Irodalom Abbott, M. B. (1979): Computational Hydraulics. Elements of the Theory of Free Surface Flow. Pitman, London. Bahvalov, N. Sz. (1977): A gépi matematika numerikus módszerei. Analizis, algebra optimalizálás, közönséges differenciálegyenletek. Műszaki Könyvkiadó, Budapest. Cunge, J. A. (1969): On the subject of a flood propagation computation method (Muskingum Method). Journal of Hydraulic Research, Vol. 7., No. 2, pp. 205-230. Cunge, J. A., Holly, F. M. jr., Verwey, A. (1980): Practical Aspects of Computatiponal River Hydraulics. Pitman, Boston, London, Melbourne. Henrici, P. (1985): Numerikus analízis. Műszaki Könyvkiadó, Budapest. Holly, F. M., Preissmann, A. (1977): Accurate Calculation of Transport in Two Dimensions. ASCE JHE, Vol. 103., No. 11., pp. 1259-1277. Marcsuk, Sz. A. (1976): A gépi matematika numerikus módszerei. Parciális differenciálegyenletek. Akadémia Kiadó. Budapest. Miller, W. A., Cunge, J. A. (1975): Simplified equations of unsteady flow. In: Unsteady Flow in Open Channels, Volume I., Chapter 5., pp. 183-255. (Ed. by Mahmood, K. and Yevjevich, V.), Water Resources Publ., Colorado, USA. Peyret, R., Taylor, T. D. (1983): Computational Methods for Fluid Flow. Springer-Verlag, New York, Heidelberg, Berlin. Press, W. II., Flannery, B. P., Teukolsky, S. A., Wetterling, W. T. (1986): Numerical Recipes. The Art of Scientific Computing. Cambridge, University Press, Cambridge, New York Richtmyer, R. D., Morton, K. W. (1967): Difference Methods for Initial Value Problems. Interscience, New York Szél, S. (1988): Kaszkádmodellek a hidrológiai modellezésben. Diplomamunka, BME, Budapest. Szidarovszky F. (1974): Bevezetés a numerikus módszerekbe. Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó, Budapest. Szilágyi J. (1991): A Muskingum-módszer ellentmondásainak vizsgálata. Vízügyi Közlemények, LXX1II. évfolyam, 1. füzet. Todini, E., Bossi, A. (1986): PAB (Parabolic and Backwater) an unconditionally stable flood routing scheme particulary suited for real time forecasting and control. Journal of Hydraulic Research, Vol. 24., No. 5., pp. 405-424. A kézirat beérkezett: 1992. július 30. Közlésre elfogadva: 1992. december 31.