Hidrológiai Közlöny 1993 (73. évfolyam)

6. szám - Szél Sándor–Gáspár Csaba: A Muskingum-Cunge eljárás felülvizsgálata és továbbfejlesztése

SZÉL S. - GÁSPÁR CS.: A Muskingum-Cunge eljárás 351 IMII < 00 [|C

2| + |Ci+C

2C

3| 2 |C3|

k]-|C

2| J

Cr,gf

3

1 (27) i-|c

3| Tegyük fel, hogy a (13) feltétel teljesül, azaz a C

b C

2, C

3 együtthatókat a (14) formulák állítják elő. Vizsgáljuk meg, milyen pótlólagos feltétel mellett lesz az A mátrix normája 1-nél kisebb, ami (25) értelmében elegendő a vizsgált erős stabilitáshoz. Egyszerű számításokkal igazolható a következő állítás: Ha a (13) feltétel teljesül, továbbá fennállnak a Cr + -~> 1, és Cr-y

e< 1 (28) Pe egyenlőtlenségek, akkor | | | <1, azaz a (23) alakit erős stabilitás teljesül. Bizonyítás: Mindenekelőtt megjegyezzük, hogy (28) első egyenlőtlenségéből azonnal adódik, hogy C>0, azaz a stabilitás szükséges feltétele teljesül. A (14) formulákból ezekután könnyen látható, hogy a (28) feltétel ekvivalens a C

2>0, C

3>0 feltételekkel. (14)-ből az is könnyen levezethető, hogy C

x + C

2C

3 = (Cr+1) - (Cr-1) 4 Cr innen pedig (27) alapján azt kapjuk, hogy hah n 1 4'

Cr | |A| |<C

2 + 1 -Cr+Pe 1 -Cr+ J_ Pe 4- Cr 1 +Cr+-z~Pe l 1-Cr+ Pe 2 Cr 1+Cr+i Pe 1 + Cr +• J_ Pe = 1, amivel az állítást igazoltuk. Második speciális esetünk (adott felső peremfeltétel, zérus kezdeti peremfeltétel) pontosan ugyanígy vizsgálható. A részleteket elhagyva, az adódik, hogy a (28) feltétel ez esetben is elegendő a stabilitáshoz. Következésképpen ekkor a stabilitás az általános esetben (tetszőleges kezdeti- és peremfeltételek mellett) is fennáll, azaz a séma a belső rácspontokra a peremre (az x-0 vagy t=0 egyenesekre) illeszkedő rácsponti értékek abszolút maximumánál mindig kisebb abszolút értékű rácsponti értéket generál. Végül vizsgáljuk meg, hogy ha még a harmadrendű approximációt biztosító (16) feltételt is teljesíteni akarjuk, akkor a (28) erős stabilitási feltétel kielégíthető-e. Adott Péclet-szám mellett válasszuk tehát meg a Cr Courant-számot a (16) egyenlőségnek megfelelően. Ekkor Cr<l, így (28) második egyenlőtlensége triviálisan teljesül. Elég ezért azt vizsgálni, hogy az Pe Pe egyenlőtlenség milyen Péclet-számok mellett igaz. A két oldal a Pe-2 érték mellett egyenlő: elemi meggondolásokból könnyen adódik, hogy a fenti egyenlőtlenség akkor és csak akkor teljesül, ha Pt> 2 (29) Ekkor pedig (16) alapján nyilvánvalóan k<Cr< 1 2~ Megjegyzés: A (28), (29) stabilitási feltételek elégséges feltételek Ez azt jelenti, hogy (28), illetve (29) teljesülése biztosan maga után vonja az erős stabilitást kifejező (23) egyenlőtlenség teljesülését. Arra vonatkozólag azonban a fenti állítások nem mondanak semmit, hogy stabil marad-e a megoldás olyan esetekben, amikor a (28)—<29) feltételek nem teljesülnek. Ilyen vizsgálatokhoz finomabb matematikai eszközök szükségesek. Saját tapasztalatunk mindenesetre az, hogy a (13) approximációs feltételt biztosítjuk, akkor a megoldásban kifejezett instabilitás nem észlelhető, még akkor sem, ha (28) feltételek nem teljesülnek. Végezetül megemlítünk még néhány lehetőséget a véges differenciák eszköztárából a jelentősebb numerikus hibák kiküszöbölésére. Az egyik lehetőség, hogy a konvekciós-diffúziós operátort részoperátorokra bontjuk és azokat egymás után alkalmazzuk úgy, hogy a részoperátorok numerikus közelítése eltérő. Eredményesen alkalmazható a konvekciós részoperátor (vagy kinematikus hullám) közelítésére a karakterisztikák módszere és a mozgó (Lagrange-\) koordinátarendszer használata. A karakterisztikák módszere esetében gyakori a Hermite-féle interpoláció felhasználása (Holly és Preissmann, 1977), megállapítható azonban, hogy a splineinterpoláció alkalmazása munkaigényesebb, de általában pontosabb eredményt szolgáltat. A diffúziós részoperátor közelítésére jól alkalmazható a Crank-Nicholson séma (Marcsuk, 1976), esetleg szintén súlyozott differenciálsémákat alkalmazva. Ez utóbbi módszer, szemben a Muskingum-sémákkal, implicit sémákhoz vezet, azaz minden időszinten egy diszkrét egyenletrendszer megoldását igényli, mely a gyakorlatban jól elvégezhető az ismert double sweep vagy faktorizációs algoritmussal (Bahvalov, 1977; Abbott, 1979): a séma ugyanakkor az alvízi visszahatás figyelembevételére is alkalmas. Néhány numerikus példa a Muskingum-Cunge séma alkalmazására A következőkben néhány példán keresztül vizsgáljuk meg a fenti elméleti tárgyalás eredményeit. Olyan tesztfeladatokat tekintünk, amelyeknek ismeretes az analitikus megoldása. Tekintsük az (1) egyenletet az jr>0, />0 negyedsíkon. Ismeretes, hogy ha a kezdeti feltétel zérus, a peremfeltétel pedig a í=0 időpillanatra koncentrált egységnyi intenzitású Dirac-impulzus, akkor a megfelelő megoldás a következő analitikus formában írható fel: v

0(a) = x • (4n£>í

3y (x-ciY (30) Ebből kiindulva, levezethető (Todini és Bossi, 1986), hogy ha a peremfeltétel a 0 időpillanatban induló egységugrás, akkor (1) megoldása (zérus kezdeti feltétel mellett): c x vo(tje) - <S>(-(x-Ct) • (2Dt)*) + é~5~ • <t>(-(x+Ct) • (2Dt)

n) (31) ahol <J> a hibafüggvény: * -2 *C*):-(2jiY*f e-?