Hidrológiai Közlöny 1993 (73. évfolyam)

6. szám - Szél Sándor–Gáspár Csaba: A Muskingum-Cunge eljárás felülvizsgálata és továbbfejlesztése

350 HIDROLÓGIAI KÖZLÖNY 1993. 73. ÉVF., 1. SZÁM a A N Jelölje u® a j-edik időlépésben a diszkrét M-értékek vektorát: U

ü

) : = Tegyük fel egyeló're, hogy a (felső) peremfeltétel (x=0 mellett) minden időpillanatban zérus. Könnyen látható, hogy az (5) séma a (/+l)-edik időszinten olyan u^

1) vektort ad, amely a ;'-edik időszint vektorából a következőképp állítható elő: u"

+

1> = C

2 + (Cl + C

2C

3) • fiu ,.0) = [C

21 + (C] + C2C

3)5]u

u

; = : Au

ü) ahol I az NxN-es egységmátrix, B pedig az alábbi alsó háromszögmátrix: B 0 1 C

3 0 1 C eV 1 0 (18) Ismeretes (ld. pl Bahvalov, 1977), hogy a módszer stabilitásának szükséges feltétele az, hogy a fenti A mátrix minden sajátértékének abszolút értéke 1-nél nem nagyobb legyen. Elemi lineáris algebrai meggondolások mutatják, hogy az A mátrix mindegyik sajátértéke C

2-vel egyezik. Ha tehát feltesszük, hogy a (13) feltétel teljesül (azaz a numerikus diszperzió eliminálva van), akkor (14)-ből világos, hogy a \C

2\ < 1 (19) stabilitási feltétel mindig teljesül, hacsak C>0. Megjegyzések: 1. Az, hogy az A mátrix minden sajátértéke C

2

) azon múlik, hogy a B mátrix idempotens (A^-edik hatványa a zérusmátrix), ennélfogva mindegyik sajátértéke zérussal egyenlő. 2. Ha C<0, akkor, az (5) séma általában instabil, ahogy erről egészen egyszerű példákon keresztül meggyőződhetünk. Ez a gyakorlatban azt jelenti, hogy az (5) rekurziót csak a konvektív sebesség irányában lehet végrehajtani, ellenkező' irányban az instabilitás miatt általában nem. Ez egyúttal rávilágít a Muskingum-Cunge-eljárás hátrányára is: a vizsgált tartomány végpontjában (x=A mellett) peremfeltétel nem tehető, ide a séma egyértelműen meghatározott értéket generál, noha matematikailag az x=A végpontban peremfeltétel előírása szükséges. Fizikai szempontból ez a jelenség az „alvízi visszahatás" hiányaként mutatkozik: az alvízi állapot a közelítő megoldás során nem képes befolyásolni a felvízi állapotokat, noha ez a tiszta konvekciós problémákat kivéve mindig fennáll. Az imént azt a speciális esetet vizsgáltuk, amikor kezdeti feltétel van, de a peremfeltétel azonosan zérus. Egészen hasonló módon vizsgálható az a másik speciális eset is, amikor peremfeltétel van (x=0 mellett egy véges (0, T) időintervallumon), és a kezdeti feltétel zérus. Jelölje ekkor u

(

k) a &-adik rácspontban az egymás utáni időlépésekben vett diszkrét w-értékek sorozatát: u<*> : = (HJX...X) akkor könnyen látható, hogy u<

k+

1) = C

3 • u« + (C

: + C

2C

3) • BuW (20) ahol most B = "0 1 C

2 CN-2 CN-3 1 0 (21) Most N az időlépések számát jelöli. A (20)-(21) formulák pontos megfelelői a (17)-(18) formuláknak, C

2 és C

3 szerepcseréjével. A stabilitás szükséges feltételének ennélfogva mosta a |C

3| < 1 (22) feltétel adódik, ami (14) alapján most is mindig teljesül, hacsak C>0. A fentebb vizsgált két speciális esetből az általános eset már következik. Nyilvánvaló ui., hogy a (2) egyenlet minden u megoldása előállítható u = Mj + m

2 összeg alakjában, ahol u

t, u

2 olyan megoldásai (2)-nek, hogy kielégíti az adott kezdeti feltételt, de az x=0 mellett azonosan zérus, míg u

2 az adott (felső) peremfeltételt elégíti ki, és a kezdeti időpontban azonosan zérus. A (19) stabilitási feltétel elégséges is a stabilitáshoz egy meglehetősen gyenge értelemben. Nevezetesen, igazolható, hogy ekkor bármilyen kezdeti feltétel esetén a megoldás az idő szerint (tehát a (0A) x (0 + á) sávon) korlátos marad (zérus felső peremfeltétel mellett). Hasonlóan, ha (22) teljesül, akkor a megoldás tetszőleges felső peremfeltétel (és zérus kezdeti feltétel) mellett korlátos marad a (0, + • (0,7) sávon. E korlátok viszont óriásiak is lehetnek, úgy hogy a gyakorlatban a megoldás sokszor instabilnak tekinthető, noha a fenti értelemben nem az. Térjünk vissza az első speciális esetünkre (adott kezdeti feltétel, zérus felső peremfeltétel), és vizsgáljuk most azt a sokkal erősebb stabilitási feltételt, hogy az sorozat valamilyen vektornormában mérve, minden egyes időlépésben csökken, azaz I l"

ü+1

) I I < I l"

ü

) I I (23) teljesül. Emlékeztetünk rá, hogy a vektornormák az abszolút érték fogalmának kiterjesztései vektorokra. A továbbiakban a vektorok ún. maximumnormáját használjuk, melynek definíciója: I M Ima* : = ma

x(l"l|, |"2Í. •••, KI) (24) Könnyen igazolható továbbá a következő becslés (Szidarovszky, 1974; Bahvalov, 1977). Ha A tetszőleges NxN-es mátrix, u egy N-komponensű vektor, akkor l|Au|U : = < ||A|| • IMU (25) ahol az A mátrix normája alatt az ||A|| : = max £ |A*, (26) i-1 számot érjük. A (23) feltétel teljesüléséhez (17) és (25) alapján elegendő, ha a (17) formulában szereplő A mátrix normája 1-nél nem nagyobb. A (26) definíció értelmében a szóban forgó mátrixnorma a következőképp áll elő: | |A 11 = max [|C

2| + |C

1

+C

2C

3| • (1+|C

3| + ] k C I melyet az alábbi módon lehet felülről becsülni: