Hidrológiai Közlöny 1992 (72. évfolyam)

4. szám - Mistéth Endre: Duzzasztómű vasbeton szerkezetével összefüggő mérések feldolgozásának „kiegyenlítő” módszere

194 ÍÍIDROLÖGIAI KÖZLÖNY 1992. 72. ÉVF. 4. SZÁM Első megalkotója Gauss volt, ami azóta, normális eloszlású mérési eredmények kiegyenlítésére, bizonyítást is nyert. Az irodalomban ,,legkisebb négyzetek módszere" néven ismert. A geodézia 150 éve rendszeresen használja. A feltételi egyenletek általában nem lineárisak, ezért a G^(Y

V Y

2, ..., Y

n) = 0 függvényt y

3 = = (lj + Aj) helyen Taylor sorba kell fejteni. W1+4). dn+An)] = +GW -A

2+ .. . +G0) •A„+R

L (i=J, 2, ...m) Rí=Rí(A

2, Aj -A

k, zJ»... 0 (5) Az (5) kifejezésben levő Rí ~ 0 első közelítés, mert a Aj legvalószínűbb javítások kicsik 0,2) így azok négyzetei, vegyes szorzatai és annál magasabb hatványai első közelítésben elhanyagolhatók. Az (5) kifejezésben a továbbiakban GW(l

v l

2, ...,l

n)=Q( i) dG& CB') i j Vi=h yn

=ln {J=l, 2 ») A továbbiakban a feladat a feltételes szélső érték meghatározása, amihez képezni kell a Lagrange-függvényt (0): m 0=F-2 ^ nömt^+Ji), ..(/n+A)] (6) A Lagrange-filggvényben a feltételi egyenletek lineárisak, mert a Taylor sorba fejtett alakban csak az első taggal számolunk. -(-fbHrh-+Hr)n n 0 j-i j-i 3A

1 ~ 30 2A

2 3A

230 _ 2 An 3A» ~ s

2 n . .-2r

mGW=0 -2[Gm+Ga>4+... +flw>4,]=ö 30 dr

2 30 = -2[(?(

2>4-6?<

2)^

14- • • • +G<

2

nH,]=ö dr

m ii' « 30 A (8) kifejezésben levő —-—=0 (i=Í, 2, . .., m) 3n egyenletek tulajdonképpen a feltételi egyenletek. A (8) kifejezés első ,,n" egyenletéből Aj — k(j= = 1,2, ..., n) közvetlenül kifejezhetők: A

1=s?[r

1Gp+r

2G(V+ . . . +r

möö»>] A

2=s2[

r

iGp+r

2GV) + . . . +r

mGw] (9) A

n=s*[r

1Gp+r

2G(V+ . . . +r

mG^] A (9) korreláta egyenleteket a (8) egyenlet 30 0 (i=l, 2, . .., m) egyenleteibe helyettesíted ve, a korrelátákra vonatkozó egyenletrendszer: n n Í=1 i=l + r

m G^G['»)s

2.-JrGW=0 n ii ri X Gf ö)

l)

s|+

r2 2 + • • • + j=l J=l n +r« £ Gf -0^8*+GW=0 (10) j = i - .. . -2rJaw+ 2 G^AÁ i = i (7) A Lagrange-függvényt AJ(i= 1, 2, ...,n) és n (i=l, 2, .. ., m) szerint deriválva és zérussá téve az (n-\-m) egyenlet ugyanannyi ismeretlent tartalmaz, így a megoldás adja a legvalószínűbb A

v A

2, ..., A

n értékeket és a hozzátartozó r

v r

2, . .., r

m koefficienseket. 30 2zJ, " — 1 /Jiii n<i\ rt/m\ n r

x 2 > -GWsf + r

2 £ ÖOn) •<*»>«•+ . . . + i=i j = i n i = i A (10) lineáris egyenletrendszer, az ún. normális egyenletek szimmetrikus felépítésűek, a diagnoálisban levő tagok mind pozitívak, a többi tag (ami pozitív és negatív előjelű is lehet), a diagonálisra nézve szimmetrikus elrendezésű és egyenlő. Az egyenletrendszer megoldása adja a korrelátákat. Ezeket az ra(i = l,2, ...,m) értékeket a (9) egyenletrendszerbe helyettesítve kapjuk meg a Aj(j = l, 2, ..n) legvalószínűbb javításokat. Ezek szórása természetesen változatlan. A javított mérési eredményeket (lj + Aj) (j = 1, 2, . . ., n) az eredeti nem lineáris feltételi egyenletekbe helyettesítve, azok nem elégítik ki a feltételi egyenletet, vagyis G

(i

)[(h+A), . .(l

n +A

n )]=AGU* 0 (8) (i = l, 2, . . ., m) (11)