Hidrológiai Közlöny 1991 (71. évfolyam)
2. szám - Vágás István: Egységes valószínűség leírás a vízmozgások Froude-féle állapotaira, a Doppler-hatásra, a lineáris kaszkád-modellre és a vonalmenti bolyongás egyes eseteire
<'AGAS I.: Egységes valószínűségi leírás ler-hatásfellépését feltételező vízmozgásolc, valamint a lineáris kaszkádmodell állapotai között. Azonnali és rendkívül érdekes következményei ennek a következők: 1. A lineáris kaszkádmodell elemi edényében bármely vízállással jellemezhető pillanatnyi állapotot, amelyet a p=y/y h aránnyal jellemeztünk, a Fr=p 2 összefüggés nyomán Froude-számmal is meghatározhatunk. A Fr=const. érték a kaszkádmodell egy meghatározott állapotának felel meg, vagyis: bármely, a Froude-törvénnyel összehasonlított hidraulikai kismintarendszer egyértelmű megfelelkezésbe hozható a lineáris kaszkádmodell meghatározott állapotaival. 2. A Doppler-hatás bármely paraméteréhez — amelyet p értéke jellemez — nemcsak Froudeszámot rendelhetünk, ezzel együtt hidraulikai modellhasonlósági feltételrendszert, hanem olyan lineáris kaszkádbeli állapotokat is, amelyek a Doppler-hatás létrejöttét determinálhatják is. 3. Ismeretes, hogy ha a lineáris kaszkádsor legfelső edényében az állandó vízhozamú átfolyást nem a p=l feltétel fennállása mellett indítjuk, úgy a p mindenkori értéke által vezerelt önszabályozás ezen „kritikus" állapot minden határon túli megközelítésére törekszik. Amíg ez nem következett be, minden p> 1 állapot a kapcsolódó vízszintes átfolyású edényben rohanó vízmozgást, minden p<l állapot áramló vízmozgást hoz létre, egyezésben az 1. pontban leírottakkal. 3. A vonal menti bolyongás lineáris kaszkádokra érvényes modellje A véletlen, vonal menti bolyongás olyan lépések sorozata, amelyen belül u l valószínűséggel lehet egy lépést tenni a pozitívnak meghatározott irányba, u 2 valószínűséggel lehet helyben maradni, és u 3 valószínűséggel lehet egy lépést tenni a negatívnak meghatározott irányba. Mindez kizárólagos, tehát Kérdés, mi a valószínűsége annak, hogy a kezdőpont és a megtett lépesek számának ismeretében a bolyongás eleme hol — melyik vonal menti diszkrét pontban — tartózkodik. Tekintsünk olyan speciális vonal menti bolyongástípust, amelynél a negatív irányú lépés kizárt, azaz: u 3=0, a rendszer egyébként emlékezet nélküli, vagyis a helyben maradás u 2 valószínűségét kizárólag az éppen vizsgált t időpontot követő At időtartam hossza határozza meg. Ugyanez érvényes a pozitív irányú lépés valószínűségére is, és — emlékezve, hogy minden időtartamot egy alapul választott, egységnek tekintett t/, időtartamhoz képest értelmeztünk, — a At tulajdonképpen (itt, e vonatkozásban): dimenzió nélküli arányszám: u^=At és u 2=l — At (8) Ebben az értelmezésben benne van az is, hogy csak a At?s 1 eseteket vehetjük figyelembe, tehát az 67 u értékek sem léphetnek ki a 0 és az 1 közötti számtartományból. Annak valószínűsége, hogy a vonal mentén, az előbb megfogalmazott feltételek mellett mozgó pont a (t + At) időpontban éppen (k+1) egységnyi távolságra legyen a kezdőponttól, a következőképpen határozható meg akkor, ha ismerjük azt, hogy milyen valószínűséggel tartózkodott a kezdőponttól számított k egységnyi távolságban: Pk + 1(t + Atj^Ui •p k(t) + u 2-Pk + l(t)=At-p k(t) + (l-At).p k+ 1(t) (9) Itt Pk+i és p x a (&+I), ill. a k sorszámmal megjelölt távolságú helyen érvényes t, vagy (t + At) időpontbeli tartózkodás valószínűségét jelenti, s az u 1 és u 2 értékeket a (8) egyenletből helyettesítettük. Vonjunk ki a (9) egyenlet mindkét oldalából Pk+i(t)-1, majd osszunk mindkét oldalon zlí-vel. Ha At—O, úgy az egyenlet baloldalán differenciálhányados áll: Ezzel felírva a rendezett (9) egyenletet: Pk + 1(t)=Pk(t)~Pk + 1(t) (10) (&=0, 1,2, ... n). Adjuk meg a k=l, első pontban, a t=0 kezdő időpontban a tartózkodás p 0 valószínűségét I-nek — ami azt jelenti, hogy a bolyongás rendszerét a k=0 kezdőpontban „egységimpulzus", azaz zérus időn át tartó, végtelen nagy, de „egységnyi területű" ráhatás érte: p 0(t)= ö(t), ami a számítás szempontjából egyenértékű a p 0(t)=zO helyettesítési értékkel. A (10) egyenlet ezután a különböző k értékekre láncszerűen megoldható: ft(0 = e-'; p s(t)=t-e-*i 2> 3(í) = 2T* 2-e-' Általában pedig (3. ábra): ?*(«)= (ftj^ i -t"' 1 -e-^Pk-S) (11) ahol a Ph-x függvényjelölés arra utal, hogy megoldásként mindig a szóban forgó hely sorszámánál eggyel alacsonyabb rendű Poisson-eloszlás sűrűségfüggvényét kaptuk. Hogy az olyan, alapvetően valószínűségi jelenségnél, mint a bolyongás egy speciális esete, típusosán valószínűségi függvénysereget kaptunk megoldásként, ez aligha lehet meglepetés. Az viszont már aligha magától értetődő, hogy ugyanezeket a függvényeket a lineáris kaszkád modell hidraulikai jellegzetességei is szolgáltatják. Értelmezzük a (10) differenciálegyenlet-rendszert a tározás differenciálegyenleteiből álló rendszernek, amelyet olyan lineáris kaszkádmodellre vonatkoztatunk, amelyben a k sorszám az egymást követő kaszkád medencék sorszámát jelenti. Ez könnyen megtehető, ha a p k(t) függvény a k sorszámú medencéből való kifolyás vízhozamával
