Hidrológiai Közlöny 1991 (71. évfolyam)

1. szám - Hankó Zoltán: A turbulens vízmozgás kinetikai energiatartalmának megoszlásáról

HANKO z.: A turbulens vízmozgás energiatart. 33 T>Ut dU D t =fi i <)p Q dXi }= 1 dUi dXj 3 = 1 8x

2 <=i <9xí = 2 i = l Ebből következik, hogy i = l .= V t = l Ite r=2 í = i duj dXi (6/a) (6/b,c,d) azaz mind a pillanatnyi értékre, mind a statisztikai középértékre, mind a turbulens fluktuáció pillanatnyi értékére vonatkozó folytonosság — külön-külön és együttesen — fennáll. A Navier—Stokes egyenlet a középértékre: DÜi _~D(ÜÍ + U'Í) _ d(üi + Ui') Bt D t dt • + + S (Uj + U'j) 3 = 1 d(Uj + Uj) dxj =fi~ 1 r)(p + p') p dxt 3=1 d

2(Üj + Ui') dx

2 3 (7/a) (5/b) ahol Uj, Uj [m/s] = az U (pillanatnyi) sebességvektor i, j irányú összetevője; <[s]— az idő; x

h Xj [m]= az i, j irányú koordináták; PfN/m'-^kg/ms

2] = (pillanatnyi) hidrosztatikus nyomás; g[kg/m

3] = a folyadék sűrűsége; v— p/o[m

2/s]= a folyadék kinematikai viszkozitása; /,[m/s

2] = a folyadéktestre ható tömegerők (eredőjének) gyorsulása (a tömegerők sűrűsége) i irányú összetevője. Fenti összefüggésekben i=l, 2, 3 és j= 1, 2, 3, ahol Iesk (folyásirányú, vízszintes), 2=y (x-re merőleges, balra mutató, vízszintes) és 3 =z (az x, y síkra merőleges, felfelé mutató, függőleges). Ebben az 1 + 3 = 4 egyenletből álló egyenletrendszerben négy ismeretelen van: U

x= U

x, U

2= = U

y, U

3= U

z és P, ha ismerjük a folyadék sűrűségét (q), kinematikai viszkozitását (v) és a tömegerők gyorsulását (/., , f

v, f

z). Ez az egyenletrendszer tehát megoldható; s mivel zárt alakú megoldása nem ismeretes, csak a különböző numerikus megoldások jöhetnek szóba. Ez az egyenletrendszer érvényes áramlójrohanó és laminárisIturbulens vízmozgás esetére egyaránt. Turbulens vízmozgás esetén azzal a kiegészítéssel, hogy a pillanatnyi értékeken felül érvényesnek kell lennie a statisztikai középértékekre is. Ez további meggondolásokat igényel. Nevezetesen Uí-üi + Uí\ Uj = üj+u'y, P = p + p' (5/c, d, e) és az átlagképzés szabályait a (4/a, b, c) egyenletek szerint kell alkalmazni. A folytonossági egyenlet a középértékre: A (4/a, b, c) figyelembevételével, átalakítás után kapjuk: düi — =A 3 = 1 DM,_ <)UÍ f)Xj 1 dp P f)Xi + v ( <)

2üi , du'i \ 3 = 1 (7/b) Az egyenlet baloldalának második tagjához hozzáadva o-t <»» 3 = 1 a jobb oldal utolsó előtti tagjához hozzáadva d

2üj »=2 3 = 1 dXidxj és a jobboldal utolsó tagjához hozzáadva 0 j=i (8/b) (8/0) kifejezést (mindhárom a folytonossági összefüggés célszerűen választott alakja), majd rendezve kapjuk: Düi düi , ^ d(üiüj) t 1 dp Bt (I) dt (H) -+ 3 = 1 dXj •=fi Q dXi (III) (IV) (V) + j = 1 ,„

T. ,

tTT

T. •+ (9/a) (VI) (VII) ahol (I) az egységnyi tömegű folyadéktestre ható erők által létrehozott teljes gyorsulás i irányú összetevője (időbeli átlag), ami egyenlő (II) a helyi gyorsulás és (III) a konvektív gyorsulás összegével. Az egyenlet jobb oldalán (IV) az egységnyi tömegű folyadéktestre ható tömegerők eredője által létrehozott gyorsulás i irányú összetevője és (V) a hidrosztatikus nyomás által létrehozott gyorsulás. A jobb oldal utolsó két tagja (VI) a viszkózus erők által létrehozott alakváltozással kifejezett gyorsulás, míg (VII) a turbulens sebességfluktuáció által keltett ellenálló erők gyorsulása. A Navier-Stokes egyenletnek a turbulens statisztikai középértékre vonatkozó, fentiek szerinti alakját első ízben Osborne Reynolds vezette le, ezért ezen egyenlet legjellemzőbb tagját, a - QUi'Uf = a i\j = —pt ön + C düi düj 1 + Q£

m{j)^ + l)x-J (10/a)