Hidrológiai Közlöny 1991 (71. évfolyam)

1. szám - Hankó Zoltán: A turbulens vízmozgás kinetikai energiatartalmának megoszlásáról

34 HIDROLÓGIAI KÖZLÖNY 1991. 71. ÉVF. 1. SZAM turbulens pótfeszültséget kifejező szorzatot Reynolds feszültségnek is szokták nevezni. J. Boussinesq volt, aki először feltételezte, hogy a Reynolds feszültségek okozta ellenálló erő ugyanúgy a főáramlás (statisztikai közép) alakváltozásával kifejezett gyorsulással jellemezhető, mint a viszkózus erők okozta ellenállás, csak a molekuláris viszkozitás tényezője (v= fijg, agyagjellemző) helyett a „látszólagos" vagy „turbulens" vagy „örvény" viszkozitás (e

m, „mozgásjellemző", mert csak akkor ébred, ha van mozgás) helyettesítendő. Ezt továbbfejlesztve leválasztható a Reynolds feszültségekből a normál feszültség értéke és figyelembe vehető annak gömbszimetrikus volta. Ezek nyomán az 3 — J_ V " ai

í

' _ 1 dpt p ^ faj p dxt +i m-i^m mh) )=i ahol p

t [N/m

2 = kg/ms

2] = a turbulens pótfeszültség (gömbszimetrikus) normál értéke és e,„[m

2/s] = az örvény viszkozitás tényezője (skalár mennyiség), továbbá ő;j = a Kronecker delta és ha j = i akkor d

i

}= 1, míg ha j ^ i akkor 0^=0. Fentiek figyelembe vételével a (9/a) egyenlet átalakítható: 3 T>ű

j _ düj y, d(ütüj) ~T>T~ dt 2-t dxj ~ j= i _ 1 <H~P+1>,) FT r Q dXi ] = 1 A turbulens vízmozgások egy jelentős csoportjánál (pl. széles, lapos medrű, nyíltfelszínű vízmozgásoknál) a p

t = állandó 68 ciZ Em — állandó feltételezésével a kísérleti és az elméletileg számítható eredmények között jó egyezés található. Vannak azonban olyan esetek, amikor az e

m = állandó, skalár helyett másod- vagy negyed rendű tenzor helyettesítése ad kielégítő eredményt, noha ezeknek a matematikai megoldásoknak a fizikai tartalma még nem kellően feltárt. Mint látható p

t a p-t és e

m a j>-t egészíti ki. Nyílt felszínű vízmozgás esetén, felszínközeli pontban a p

t a p-\

re\ azonos nagyságrendű lehet. Ugyanakkor nagynyomású zárt vezetékben p

t feltehetően elhanyagolhatóan kicsi p-hez viszonyítva. így e kérdésben csak logikai alapon lehet dönteni. Az e

m = örvényviszkozitás értéke (víz esetén) általában nagyságrendé (kke)l nagyobb, mint a v= kinematikai viszkozitás. Ha valamely kísérleti eredményből visszafelé kiszámolva e

m értéke negatívra adódik (p

t reális értéke mellett), akkor ez annak a jele, hogy az adott turbulens áramlás esetén az €m —állandó, skalár feltételezés nem megalapozott. * * * Az egységnyi tömegű folyadéktestre ható erők egyensúlyát kifejező (9/a) egyenletből (statisztikai középérték) könnyen áttérhetünk az energia egyenletére, pontosabban az energia megváltozását kifejező, tulajdonképpen a teljesítmény egyensúlyát leíró egyenletre. Ismeretes ugyanis, hogy az erő és az irányába eső sebesség szorzata a teljesítmény, így a (9/a) egyenlet minden tagját íí

rval megszorozva a teljesítmény-egyensúly i irányú összetevőjét kapjuk a statisztikai középértékre. Tehát (átalakítások után) az i jelű összetevő: {) I- * I l 2 J l~ dt 1 { 2 J (I) (II) 3 „ — .V

1 d ( uf ut dp (III) (IV) (V) 3 J dui Vdüt ^ düj "I"! dxj l dxj dxt )} (VIII) +- - (- • (n/a) (VIII) (IX) Ebben az összefüggésben az egységnyi tömegű víztestre vonatkozóan és a statisztikai középértéket figyelembe véve, az i irányban a (I) a teljes kinetikai teljesítmény, ami (II) a helyi és (III) a konvektív kinetikai teljesítmény összege. Ez tart egyensúlyt (IV) [a tömegerők és (V) a hidrosztatikus [nyomás által létrehozott teljesítmény (konvektív diffúzió) és az ellenálló erők által létrehozott teljesítmény összegével. Az ellenálló erők által kiváltott teljesítmény sorában a (VI) a viszkózus alakváltozás és a (VII) a viszkózus disszipáció teljesítménye kiegészül a (VIII) a turbulens pótfeszültségek főárambeli konvektív transzportjának teljesítményével, valamint (IX) a turbulens pótfeszültségeknek a főáram alakváltozására fordított teljesítményével. Az előbbihez hasonlóan a pillanatnyi értékre vonatkozó erő-egyensúly (5/b) egyenlete is átalakítható a pillanatnyi teljesítmény-egyensúlyt kifejező alakra (Í7

rval történő szorzás útján). Majd a pillanatnyi érték helyébe az (5/c, d és e) szerinti összetevők összegét helyettesítve és az átlagolást a (4/b és c) figyelembe vételével elvégezve, kapjuk a teljes teljesítmény-egyensúlyt kifejező összefüggést. Tehát _ + '<) ü?+u'

2 jj ii ii ~lTt 2 =~dt ~2~ + 3 ^-i d (üí+UÍ')

2 + 2 2—