Hidrológiai Közlöny 1991 (71. évfolyam)

5. szám - Gáspár Csaba: Többhálós – multigrid – eljárással összekapcsolt peremintegrálegyenlet módszer, és annak szivárgáshidraulikai alkalmazása

294 HIDROLÓGIAI KÖZLÖNY 1991. 71. ÉVF., fi. SZAM Kezdeti kc? 1. ábra. Gáton keresztüli szab adfélsz í níí szivárgás számítása. Folytonos vonal: standard peremelem-módszer. Szaggatott vonal: multigrid technikával kombinált peremelem-módszer. Vastag fonal: közös végső közelítései: Az így nyert szabad felszínt összehasonlítottuk a legfinomabb hálón alkalmazott standard peremintegrálegyenlet módszerrel meghatározott szabad felszínnel, a maximális eltérés mindössze 0,7% volt (4. ábra). Ez azt mutatja, hogy a bemutatott multigrid módszer nem kevésbé pontos, mint a standard perem-integrálegyenlet módszer, ugyanakkor sokkal kisebb mfiveletigénvű. Külön kihangsúlyozzuk, hogy a multigrid technika nem igényel a fenti nemlineáris probléma megoldásához több számítási munkát, mint egyetlen lineáris probléma megoldásához (a legfinomabb hálón). Irodalom fíettes, J. A. (1987): Solntion Techniques for Boundary Integrál Matrices. In: Numerical Methods for Transient and Coupled Probléma (Ed. by R. W. Lewis, E. Hinten, P. Battess and B. A. Schrefler.) A WileyInterscience publication. Brandt, A. (1984): Multigrid Techniques. 1984 Guide with Applications to Fluid Dynamics. GMDStudien Nr. 85, Bonn. Brebbia, C. A., Teliess, J. C. IV., Wrobel, L. C. (1984): Boundary Element Techniques. Springer-Verlag, Berlin, New York. Crciig, A. W., Zienkiewicz, 0. C. (1985): A Multigrid Algorithm using a Hierarchical Finite Element Basis. In: Multigrid methods for integraland differential equations. (Ed. by D. J. Paddon, H. Holstein.) Glarendon Press, Oxford. Hackbusch, W. (1985): Multigrid Methods of the Second KinH. In: Multigrid methods for integrál and differential equations. (Ed. by D. J. Paddon, H. Ilolstein.) Glarendon Press, Oxford. Gáspár Cs. (1982): Perem-integrálegyenlet módszer alkalmazása szivárgási problémákra. Hidrológiai Közlöny, 1982. 7. sz. Gáspár, C. (1990): A Fást Multigrid Solntion of Boundary Integrál Equations. Enciromnenhd Software, 1990, Vol. 5, No. 1. Gáspár, C. (1990): Solntion of Seepage Probléma by Combining the Boundary Integrál Ecjuation Method with a Multigrid Technique. In: Computational Methods in Surface Hydrology. Proc. of tho Eight Int. C'onf. of Computational Methods in VVater Resources, beid in Venice, Italy, June 11 —15 1990. (Ed. by G. Gambolati, A. Rinaldo, C. A. Brebbia, W. G. Gray, G. F. Pinder) Computational Mechanics Publications, S out ha mpto n, Boston. Kettler, lt. (1987): Linear multigrid methods for numerical reservoir simulation. Thesis. Technische Universiteit, Delft. Liggett, J. A., Liu, P. L.—F. (1983): The Boundary Integrál Equat.ion Method for rorons Media Flow. George Allén & Unwin, London. Schippers, II. (1982): Multiple grid methods for equations of the second kind with applications in fluid mechanics. Thesis. Matematisch Centrum, Amsterdam. Sivaloganathan, S., Shaw, G. J. (1988): A multigrid method for recirculating flows. Int. J. for Num. Meth. in Fluids, Vol. 8. pp. 417—440. Spekreijse, S. P. (1987): Multigrid solut.ion of the steady Euler equations. Thesis. Centrum voor II'Mkunde en Informatica, Amsterdam. Stüben, K„ Trottenbcrg, U. (1984): Mulitgrid Methods: Fundamental Algorithms, Model Problem Analysis and Applications. GM D-Studien Nr. 1)6, Birlinghoven. Vanka, S. P. (1986): Terformance of a multigrid calculation procedure in three-dimensional sudden expansion flows. Int. J. for Num. Meth. in Fluids. Vol. 6. pp. 459—477. A kézirat beérkezett: 1990. november 1. Közlésre elfogadva: 1991 .február 7. Combination of tlie boundary integrál and multigrid methods and applications in seepage liydraulics Gáspár, Cs. Abstraet The Darcy flow equation is considered. From mathematical point of view this is a second-order elliptic equation /Eqs. (1), (2)/ supplied with mixed boundary conditions /Eq. (3)/. In order to solve it, the boundary integrál equation method is applied Eq. (4),/. However, the resulting algebraic system of equations has somé unpleasant properties from numerical point of view: its mátrix is nonsymmetric and fully populated, which can cause numerical problems. To overcome these difficulties, the boundary integrál equation method is combined with the so-called multigrid method which has proved very efficient in solving finite-difference equations. The basic concepts are briefly reviewed /Eqs. (6)—(10)/, then a comparison is performed between somé numerical methods with respect to the required computational cost (Tablel.) showing the efficiency of the multigrid technique over other methods. An equivalent boundary integrál equation and a new iteration are developed Eqs. (13)—(16)/ which form the basis of the presented multigrid method. Analytical expresions for computing the coefficients are alsó derived Eqs. (17)—(20), Fig. 3./. An application to free surface seepage problem is alsó presented (Fg. 4), which shows that the proposed method is as accurate as the traditional boundary element method, but requires much less computational work. Keywords Multigrid method, boundary integrál method, potential equaiton, unconfined seepage GÁSPÁR CSABA Szakmai működésének leírását a Hidrológiai Közlöny 1988. évi 5. számának 288. oldalán közöltük.