Hidrológiai Közlöny 1991 (71. évfolyam)

5. szám - Gáspár Csaba: Többhálós – multigrid – eljárással összekapcsolt peremintegrálegyenlet módszer, és annak szivárgáshidraulikai alkalmazása

GASPAR CS.: Tübbhálós — multlgrid — eljárás 291 A leszűkítési ill. kiterjesztési operátorok konstrukciója akkor a legkönnyebb, ha a hálók ortogonálisak, mindegyik irányban ekvidisztánsak, és a hálófinomítás mindig a hálóméretek felezésével történik. A szokásosan alkalmazott leszűkítés ekkor a kézenfekvő súlyozott közepeléseken alapszik. Két dimenzióban ez a következőképp adható meg (2. ábra): (P

ku)(C): - ^(4u

k(C) + 2 u

k(N) + 2 u

k(W) + + 2 u

k(8) + 2 u

k(E) + u

k(N W) + u

k(S W) + u

k(SE) + + u

k(NE)) 2. ábra. Jelölési vázlat a leszűkítési és a kiterjesztési operátor definiálásához A kiterjesztési operátort ugyancsak súlyozási technikával definiálhatjuk. Minden %-_

1(C) számot rendeljük hozzá a finomabb hálón a G pontot körülvevő 9 ponthoz mégpedig a C pontban 1 súllyal, az N, W, S, E pontokban 1/2 az NW, SW, SE, NE pontokban pedig 1/4 súllyal. Az eljárást végigcsinálva minden ponttal, a súlyösszeg a finom háló minden pontján 1 lesz. Másszóval, a C pontokbeli u

k_

l(G) értékek változatlanul továbbadódnak a finom hálónak ugyanabba a G pontjába: az élközepeken levő N, W, S, E pontokhoz az élvégpontok értékeinek számtani közepe, míg a lapközepekben fekvő NW, SE, NE puntokhoz a lapsarokpontok értékeinek számtani közepe rendelődik. A fenti eljárások minden belső rácspontra működnek. Perempont esetén nem mindegyik közrefogó pont létezik, így a leszűkítés operátora nem definiálható a fenti módon. Ekkor a leszűkítést egyszerűen mint a közrefogó perempontok (a megfelelő távolságok szerint) súlyozott közeliét definiáljuk. Végezetül megjegyezzük, hogy a vázolt multigrid technikák lényeges különbség nélkül kiterjeszthetők a végeselem-módszer esetére is: ekkor a hálók szerepét hierarchikusan egymásba ágyazott elemrendszerek veszik át. A részleteket illetően ld. Craig és Zienkiewicz (1985). 4. A különböző megoldási technikák műveletigénye Korábban említettük, hogy a multigrid módszer a szükséges számításigény szempontjából rendkívül gazdaságos, pontosabban, a ma ismert leggazdaságosabb eljárás. Most rövid összehasonlítást teszünk e szempontból a különböző elterjedt módszerek közt. Csak arra koncentrálunk, hogy a feladat méretével milyen gyorsan nő a műveletigény, arányossági szorzókat figyelemen kívül hagyunk. Modellfeladatként tekintsünk egy négyzeten kitűzött Laplace-e gyenletet. Véges differenciamódszert alkalmazva, a legfinomabb hálón a diszkretizált egyenlet ismeretleinek száma legyen N. A diszkrét egyenletrendszer mátrixa így N X Nes, de ritka, a nem zérus elemek száma csak kb. 5N (a standard differenciasémákat használva). A diszkrét egyenletrendszert 6raw.só'-eliminációval megoldva, a szükséges műveletek száma iV

3-nal arányos. Konjugált gradiens módszert alkalmazva elég iV'--tel arányos műveletszám. Legyen a peremfeltétel tiszta Diriddel- vagy tiszta Neumann-féle, akkor a diszkrét Fouriertranszformációval a feladat megoldható. A diszkrét Í'owríer-transz formációt a gyors Fouriertranszformációs algoritmussal realizálva a műveletigény N • log iV-nel arányos. Ha a standard perem-integrálegyenlet módszert alkalmazzuk, akkor a perempontok száma kb. N"

2: a kapott egyenletrendszer megoldására a Gauss-dimSnációt használva, elég N

sl

2 művelet. Most vizsgáljuk a véges differencia módszerre épülő multigrid technikát. A simítások műveletigénye minden szinten az ismeretlenek számával arányos, így tehát egyetlen multigrid ciklus műveletigénye'arányos N + N/4 + N/16 + ... =0 (N)nel. Másrászt megmutatható, hogy a multigrid ciklus a közelítő megoldás hibáját kb. g-szorosára csökkenti, ahol a q<l szám iV-től független, ezért ahhoz, hogy egy adott pontosságot elérjünk, a szükséges iterációk száma iV-től független. Következésképp, adott pontosság elérése csak Nnel arányos műveletszámot igényel. A fenti eredményeket tömören az 7. táblázat foglalja össze. /. táblázat A kétdimenziós Laplace-egyenletre alkalmazott numerikus módszerek műveletigényei Módszer Műveletigény VDM, VEM, Gauss-elimináció N

3 konjugált gradiens N

2 Gyors Fourier-transzformáció N -log N Standard peremelem-módszer JV('/

2) VDM, VEM + multigrid N A multigrid technika tehát valóban a leggazdaságosabb, és N db rácsponti (csomóponti) ismeretlen esetében tovább már lényegében nem javítható, ui. a műveletigénynek N nyilvánvalóan alsó korlátja. A továbbiakban a multigrid technikában rejlő lehetőségeket próbáljuk meg a peremintegrálegyenlet módszerre is kiterjeszteni. Megmutatjuk, hogy a két módszer összekapcsolásával olyan új módszert nyerünk, amelynek műveletigénye szintén csak 2V-nel arányos, ugyanakkor megőrzi a perem-integrálegyenlet módszer fentebb említett előnyös tulajdonságait is. h -- NW X 0 — W-+~ i- SW x 1 i_ --N x NE -• H-f- i. -- S * SE