Hidrológiai Közlöny 1991 (71. évfolyam)

5. szám - Gáspár Csaba: Többhálós – multigrid – eljárással összekapcsolt peremintegrálegyenlet módszer, és annak szivárgáshidraulikai alkalmazása

292 HIDROLOGIAI KÖZLÖNY 1991. 71. ÉVF., 5. SZAM 4. Perem-integrálegyenletek és multigrid módszerek Tntegrálegyenletekre a multigrid technika elvben minden nehézség nélkül alkalmazható. Tekintsük pl. a következő másodfajú Fredholm-féle integrálegyenletet: u=Ku+f (11) ahol K egy folytonos magú vagy gyenge szinguIaritású integráloperátor. (11) alakjából kézenfekvő a simító eljárás definiálása (ez az ún. Picard-féle iteráció): mint simítási eljárás, ez különösen hatékony, mert K nagyon jó simasági tulajdonsággal rendelkezik (ugyanakkor, mint iteratív megoldási módszer általában nem konvergens). Most tekintsük a (4) perem-integrálegyenletet, mely tömören az U— — Ku-\-Rv (12) alakba írható. Ha speciálisan tiszta Dirichletvagy tiszta jVeMwiímrc-feladattal állunk szemben, akkor a megfelelő perem-intergálegyenlet másodfajú Fredholm-egyenlet, ill. arra vezethető vissza. Ez esetben tehát a megfelelő multigrid technika kidolgozható. Ld. Schippers (1982), Hackbusch (1985). Nem ez a helyzet viszont, ha — mint a legtöbb esetben — nem tiszta Dirichlet- ill. tiszta Neumannperemfeltétel adott, hanem kevert peremfeltétel. Ekkor a megfelelő perem-integrálegyenlet nem másodfajú Fredholm-e gyenlet, így a multigrid technika alkalmazása nem kézenfekvő: a megfelelő simító eljárás konstruálása ütközik nehézségekbe. Sőt, úgy tűnhet, hogy a szokásos iteratív módszerek sem alkalmazhatók, a mátrix említett kedvezőtlen tulajdonságai miatt. Bettess (1987) le is szögezi, hogy „iteratív módszereket ez ideig nem használtak a perem-integrálegyenlet módszerben, mivel azok nem konvergálnak". Ugyanő mindazonáltal kidolgozott két algebrai iterációs módszert a diszkretizált perem-integrálegyenletekre, melyek azonban multigrid eljárást nem tartalmaznak, így a műveletigényt sem csökkentik olyan jelentősen. A multigrid technikát ennek ellenére sikerült alkalmazni kevert peremértékfeladatok peremintegrálegyenleteire (ld. Gáspár [1990 a, b]). Az eljárás lényegét az alábbiakban vázoljuk. Induljunk ki az (5) öram-formulából, ós számítsuk ki a két oldal normális irányú deriváltját a perem mentén. Ekkor hosszabb számolás után, felhasználva az egyszerű ós kettős réteg potenciálok ismert tulajdonságait, egy, a (12) formulával ekvivalens összefüggéshez jutunk: v=Qu — K*v (13) M-t csak r

2 mentén, u-t pedig csak 7

1, mentén változtatjuk, lévén a perem fennmaradó részén értékeik a peremfeltételek által adottak, v esetében figyelembe veendő még az / (14) feltétel. A kívánt simító eljárás tehát a következő algoritmussal definiálható. Diszkretizáljuk P-t az x,, x

2, ...,xn csomópontokkal, ahol feltehető hogy Xp . .., XJÍ a P

2 részen fekszik, \'m + 1, .. ., x.v pedig /\-en. (12)—(13)-at most már a diszkreizált alakjával helyettesítve: N N u

k:=- ^ K

kjUj + ^ RkjVj k= 1, . .., M-re (15) 3=1 3 = 1 N N Vk= ^ QkjUj- ^ KtjVj j=i j=i k=M + l, ...,N-re, (16) és minden új Vk érték számítása után elvégezzük a V

j:=v

}+C

k (j = M + l, ...,N) korrekciót, ahol a C\ konstanst minden lépésben úgy választjuk meg, hogy a (14) kompatibilitási feltétel (ill. annak diszkrét megfelelője) teljesüljön. Az így nyert simító eljárás a tapasztalatok szerint nemcsak hatékonyan simít, (tehát erőteljesen csökkenti a hiba nagyfrekvenciás komponenseit), de egyszersmind konvergens is, figyelemre méltó konvergenciasebességgel. A diszkretizált (15)—(16) formulákban a Ky, Rhj stb. együtthatók konkrét értékei a (12), (13) integrálegyenletek diszkretizálásának módjától függenek. Tekintsük azt az egyszerű esetet, amikor (12)—(13)-at kollokációs eljárással diszkretizáljuk, továbbá u-t is és v-t is szakaszonként konstans formában keressük. Tegyük fel, hogy a peremet az Xj, x

2,. . ,,x

N pontok a JT

1, T

2,... P

N egyenesszakaszokra osztják, és az u ill. v függvény pedig az u

k ill. v

k konstans értéket veszi fel a P

k szakasz felett, w-nak és v-nek ilyen alakját a (12) formula jobb oldali integrálkifejezéseibe helyettesítve azt kapjuk, hogy tetszőleges x = (x

v x

2) pont mellett: Ku(x) = J K(x, y)u(y)dr

y = perem-integrálegyenlethez jutunk, ahol Q egy erősen szinguláris integráloperátor, K* pedig a K operátor adjungáltja, azaz K*(x, y)=K(y, x) A (12) és (13) egyenleteket fogjuk simító eljárásként használni: az iteráció minden lépésében es = 2 U

k • í K

{x> y)

d

r» k = l í* Ru(x) = f R(x,y)u(y)dP

u = r N = V V

k . f R

{

x, y)dr

y V.b (17) (18) k=l