Hidrológiai Közlöny 1991 (71. évfolyam)

5. szám - Gáspár Csaba: Többhálós – multigrid – eljárással összekapcsolt peremintegrálegyenlet módszer, és annak szivárgáshidraulikai alkalmazása

290 HIDROLÓGIAI KÖZLÖNY 1991. 71. EVF., 5. SZAM A 2. lépést [azaz a (7) iterációt] simító eljárásnak, a 3. lépést pedig durvahálós korrekciónak nevezzük. Az eljárás működése tipikus esetben a következő. A simító eljárás lényegesen csökkenti a hiba nagyfrekvenciás komponenseit, de alig csökkenti az alacsonyfrekvenciás komponenseket. A durvahálós korrekció ehhez képest fordítottan működik. Külön-külön tehát mindkét iteráció lassan konvergál, sőt, előfordulhat, hogy akár divergálnak is: egymás után alkalmazva viszont a hibakomponensek minden frekvencián erőteljesen csökkennek, clZclZ 3/ teljes eljárás gyorsan konvergál. A gyakorlatban a simító eljárás legtöbbször egy egyszerű Jacobi- vagy Seidel-féle iteráció valamilyen változata, vagy egy alulrelaxálási módszer (megjegyezzük, hogy simító eljárásként az alulrelaxálás lényegesen kedvezőbb a túlrelaxálásnál). Az eljárás numerikusan kis műveletigényű, kivéve a 3. lépésben a maradékegyenlet megoldását. Azonban, mivel a maradékegyenlet megoldása pontosan ugyanolyan probléma, mint az eredeti egyenlet megoldása, ezért a fenti technikát a maradékegyenlót megoldásakor is alkalmazhatjuk, melyhez bevezetünk egy még durvább hálót, azon egy újabb maradékegyenletet, és így tovább. Ily módon a módszer egy egész sorozat, egyre durvább hálóra épül, valódi egyenletmegoldást pedig csak a legdurvább hálón kell ténylegesen elvégezni. Legyen tehát X,, X

2,. . X\f egy hálósorozat, azaz véges dimenziós terek egy sorozata, Xm a legfinomabb, X, a legdurvább. Jelölje A

L,. . . ,A

M ill/?,,. . ,,BM a kiinduló operátor approximációit az egyes hálókon ill. azok iterációra átalakított formáit. Legyen Pj: Xj->-Xj_

1 ill. /, : Xj^^Xj az egyes hálók közt kapcsolatot teremtő leszűkítés ili. kiterjesztés (j=2,...,M). A multigrid-ciklusnak nevezett eljárást a következő rekurzív algo'V ritmus definiálja (Brandt, 1984). Ha u

k egy tetszőleges közelítése a &-adik szinten (azaz az X

k hálón) az A

ku

k = b

k egyenletnek, akkor ehhez a multigrid ciklus az MGC(&, Uk, 6^)-val jelölt javított közelítést rendeli, ahol MGC(1, u

v &!): = A-i\ (azaz k— 1 esetén, tehát a legdurvább hálón, oldjuk meg pontosan a diszkrét feladatot, pl. eliminációval vagy valamilyen konvergens iterációval), 1 esetén pedig: 1. végezzünk v

1 iterációt a &-adik szinten (7) szerint: Uk: = BkUk + Ck 2. alkalmazzuk y-szor a (k— l)-edik szintű multigrid ciklust a niaradékegyenletre: wt_

1: = MGC(&-1, WkV Pk{bk~ AkUk)) ahol az első ciklusban Wk1 kezdőértéke legyen zérus. 3. az így nyert korrekciós taggal korrigáljuk a közelítést a &-adik szinten: Uk: = Uk + IkWk-1 4. végezzünk újra v

2 iterációt (2) szerint a &-adik szinten: Uk:- BkUk+Ck 5. MGC(&, Uk, bk): = Uk, ahol a jobb oldali Uk a 4. lépésben nyert, a bal oldali pedig az első lépés előtti közelítés. A y paraméter szokásos értéke 1 vagy 2, v

v v., számoké pedig 0... 2. ^ Fontos kérdés a multigrid ciklus kezdő u

k közelítésének definiálása. Égy egyszerű lehetőség erre a fokozatos finomítás módszere. Eszerint: u

í: = A-%

í /o l -re pedig Uk: = l

kWkv ezután végezzünk néhány simító iterációt a &-adik szinten: Uk: = BkUk + Ck Valamivel több számítást igényel, de sokkal hatékonyabb az ún. teljes multigrid algoritmus, ahol is a &-adik szintén a közelítő megoldás kezdő értéke a multigrid ciklus előtt a (k— l)-edik szintű megoldásnak a /c-adik szintre való kiterjesztése. Pontosabban, a teljes multigrid algoritmust a következő rekurzív eljárás definiálja. A /c-adik szintű teljes multigrid-megoldást FMG(&, ft^-val jelölve: FMG(1, b

1): = A~ib

1 (azaz & = 1 esetén, tehát a legdurvább hálón oldjuk meg pontosan a diszkrét feladatot), esetén pedig: 1. u

k: = Ik(FMG(k-l,bk^)) 2. FMG(&, &*): = MGC(&, u

k, b

k) Megjegyezzük még, hogy a multigrid technika kiterjeszthető nemlineáris problémák kezelésére is, mégpedig linearizálás közbeiktatása nélkül: ennek részleteivel itt nem foglalkozunk, Id. Brandt (1984). Fentiekből kitűnik, hogy adott feladat esetén a multigrid konstrukciónak két alapvető követelménye van, mégpedig: a) megfelelő, leszűldtési és kiterjesztési operátorokat találni a különböző szintek között, a megoldandó feladattól függetlenül; b) hatékony simító eljárást konstruálni, mely konzisztens a megoldandó diszkrét feladattal, és természetesen minden egyes szinten jól kell approximálni az eredeti feladatot.