Hidrológiai Közlöny 1988 (68. évfolyam)

6. szám - Gáspár Csaba: A konvektív diffúziós operátor matematikai vizsgálata

CASPAR CS.: Konvektfv diffúziós operátor 345 kdu 1 df tpl'Zk • u = e •(j dn 2 dn Robin-féle peremfeltétel felel meg, ami pontos megfelelője a (28)-ban iH

2-re adott peremfeltételnek. (b) Legyen a transzport egydimenziós, ekkor az (a)alatt vázolt transzformáció akkor is el végezhető, ha a k együttható és/vagy a b sebesség helyfüggő, jóllehet, ekkor a div b = 0 feltétel sem feltétlen teljesül. Ekkor az egyenlet: azaz -(ku'Y + bu'=f „ b-k' , 1, ~

u + —t—

u =~rf (

, du \ .. du dU dxp + (-(k

wy+b

w') dip

2 dip

2 már szimmetrikus. 6. Nempermanens konvekeiós-diffúziós egyenletek Vizsgáljuk most már a du dt -+ Au+ Bu=f Ha a folyamat tiszta diffúzió, azaz B = 0, akkor ismeretes, hogy (36) megoldása előáll -e~

A

tu

0 + (I — e~ A

t) A~]f (37) alakban, ahol az e~~

Á

t operátor definíciószerűen következőt jelenti: ha s

l

t s

2,... az A operátor ortonormált sajátrendszere A,, A

2,... sajátértékekkel, w pedig tetszőleges függvény, akkor o-AI, W : = ^ c l

k\u>, s

k)s

k. (38) k " k Jelölje c: = (b — &')/£, akkor az «: = exp^ J (c/2)] • U helyettesítéssel a -^•(-T—f-^-W- / <•»)•' szimmetrikus egyenlet adódik. (c) Legyen a transzport most is egydimenziós, k-t és b-t helyfüggőnek engedve meg. Keressük u-t u(x): = U( y>(x)) alakban, ahol xp egyelőre tetszőleges monoton függvény. Ekkor d (, du \ . , du ,, ,,„ d

2U A (38) előállítás azon múlik, hogy az A operátor szimmetrikus, szigorúan pozitív definit, így a 2.2. Tétel értelmében létezik ortonormált sajátfüggvényrendszere, mely szerint minden L

2(Q)beli függvény L

2(Q)ban konvergens Fourier-sorba fejthető. Ha B^O, akkor a helyzet lényegesen bonyolultabb, mert A + B nemszimmetrikus operátor, így egy (38) típusú előállítás nem várható. Ha azonban a transzport egydimenziós, vagy két dimenziós, de potenciálos sebességmezővel ós konstans k együtthatóval, akkor az előző pontban leírtak szerint (36) szimmetrikussá transzformálható. Az (5a) esetben pl. —k-AU + -^|grad (p \

2U = e <F\l.k f Válasszuk meg y>-t úgy, hogy a jobboldalon dU/d tp együtthatója eltűnjék: innen ip-re kapjuk, hogy y>(x) = c

1+c

2. J ^-expj J (6/i)j ahol c

v c

2 tetszőleges konstansok, c

2^0. Legyen ezek után a(ip): = k(x) • (y>'(x))

2 és g(ip):=f(x), akkor a transzformált egyenlet d

2U A megfelelő sajátrendszert kiszámítva a (38) sorfejtés alkalmazható. A nehézséget azonban épp a sajátrendszer kiszámítása jelenti, ami általában igen munkaigényes, egészen speciális eseteket kivéve. Az (5b) egydimenziós esetben a transzformált nempermanens egyenlet dU d

2U dt dx

2 = exp(- J (c/2))•/ alakú, ami még nem szimmetrikus: legyen W\ — = k~

l'

2U, akkor dW dt =*-i/*e

Xp(- f (c/2)]-/ (36) nempermanens egyenletet, u(0, x) : = u

0(x) kezdeti feltétellel. Az egyszerűség kedvéért tételezzük fel, hogy (1) az A, B operátorok és az/ jobboldal is időfüggetlen; (2) peremfeltételként minden időpillanatban homogén első peremfeltétel adott. Ez már szimmetrikus operátorú egyenlet. A sajátrendszer számítása közönséges differenciálegyenletre vonatkozó sajátértékproblémával egyenértékű, ami numerikusan elfogadható műveletigényű. Ha viszont a transzformációban szereplő exponenciális faktor szélsőséges értékeket vesz fel, ez nyilván nagy numerikus hibákat okoz. Az (5c) egydimenziós esetben a transzformált nempermanens egyenlet dU d*U --a —7T-—=g dt dip

2